Основы практического моделирования займов и кредитов в Excel

Fundamentals of practical modelling loans in Excel spreadsheets

Черемушкин С.В., кандидат экономических наук,
независимый консультант, cheremushkinsergei@gmail.com

Cheremushkin Sergei V., Ph.D. in Economics

Аннотация: В статье рассматриваются разные виды кредитов и займов, их основные параметры и условия, которые необходимо знать для расчета начисленных и выплаченных процентов, сумм погашения основного долга и составления графика выплат.
Раскрываются принципы и приемы создания финансовых моделей в Excel для каждого из основных типов кредитов и займов. Разъясняются наиболее важные расчеты, допущения и технические детали. Даются рекомендации по составлению проверочных ячеек и строк, тестированию моделей.

Ключевые слова: кредит, заём, долг, финансовое моделирование, амортизация кредитов, схема погашения долга, моделирование долга, способы погашения, правило начисления процентов, тип кредита, отрицательная амортизация, кредитные каникулы

Abstract: The paper describes various types of loans, their terms and characteristics, which are essential for making calculations of interest payments and debt amortization schedule. It discloses basic principles and techniques of building financial models in Excel for each of the main types of loans and explains the most important calculations, assumptions and technical details. There are also advices on data validation, checking calculations and model testing issues.

Keywords: loan, debt, financial modeling, loan amortization schedule, debt modeling, day count convention, loan repayment methods, loan types, negative amortization, deferment period, repayment holiday

 
Введение
Расчеты займов и кредитов требуются во многих финансовых моделях. Они необходимы в моделях инвестиционных проектов, в бюджетах, в моделях оценки бизнеса, моделях сделок слияний и поглощений и т.п. Полезной может быть и отдельная финансовая модель, в которую вводится информация обо всех займах и кредитах фирмы, выполняются расчеты, и на выходе можно получить информацию по отдельным займам и кредитам, сводную информацию по всем займам и кредитам для прошлых, текущего и будущих периодов, сформировать отчетные таблицы и графики.
Когда компания берет новый кредит или заём, следует рассчитать последствия такого решения и выбрать оптимальные условия, при которых выплаты по долгу будут согласованы с прогнозом денежного потока, доступного для погашения долга (CFADS).
Руководителям компании и финансистам необходимо знать не только суммы выплат процентов и основного долга в текущем периоде, но и график будущих выплат по всем займам и кредитам. График выплат по долговым обязательствам позволяет определить периоды пиков долговых платежей, вероятные кассовые разрывы, оценить риски возникновения финансовых затруднений, заранее подготовиться к выплате долгов.
Полноценная финансовая модель – это не просто расчет под конкретную задачу, который предназначен для разового использования. Финансовые модели предназначены для многократного использования и поддерживают возможность обновления информации. Вместо того, чтобы каждый раз заново делать расчет по новому кредиту или займу, лучше сделать универсальную модель под один или несколько типов кредитов и займов, в которой достаточно будет ввести новые исходные данные и получить все необходимые результирующие показатели, управленческие и аналитические таблицы и диаграммы.
В данной статье рассматриваются вопросы практического моделирования займов и кредитов. Все расчеты выполнены в Excel 2013.Некоторые формулы могут не поддерживаться более ранними версиями Excel. Я не стал описывать и пояснять каждую строку с расчетами в Excel. Это бы заняло слишком много места. Все формулы показаны на рисунках. Большинство формул прозрачные и не требуют пояснений. Вместо этого я старался разъяснять логику расчетов и заострять внимание на наиболее сложных участках вычислений. Файлы с расчетами в формате .xlsx можно скачать на сайте автора: http://sergei-cheremushkin.ru.
Во всех представленных примерах правила банковского округления не применяются, так как для целей финансового анализа и принятия управленческих решений точность до копейки не требуется. Если модель предназначена для целей финансового или управленческого учета, для расчета сумм платежей по кредитам с точностью до копейки, необходимо использовать соответствующие правила округления.
Прежде чем приступить к разработке финансовой модели, необходимо основательно разобраться в предметной области. Иначе будут допущены грубые концептуальные и методологические ошибки в расчетах. Поэтому начну с классификации кредитов и займов и описания их основных условий, наиболее существенных для построения финансовых моделей.

 
Разновидности кредитов и займов
Сегодня банки конструируют кредитные продукты, используя разнообразные комбинации параметров: способы расчета процентной ставки, сроки кредитования, график погашения долга, периодичность начисления и выплаты процентов, отсрочка первого платежа, валюта кредитования, требования к обеспечению и т.д. В таком многообразии легко запутаться. Для целей финансового моделирования нужно выделить несколько основных типов кредитов и займов, которые отличаются между собой с точки зрения техники расчета.
Различают несколько типов займов и кредитов в зависимости от методов погашения долга. Классификация показана в таблице 1. Каждый из представленных типов займов и кредитов требует своих формул расчета.

Таблица 1. Типы займов и кредитов в зависимости от особенностей графика выплат основного долга и процентов

Тип займа или кредита

Способ погашения основной суммы долга и процентов

Достоинства и недостатки

Заем или кредит с разовой выплатой (single-payment loan)

Основная сумма долга и проценты выплачиваются одной суммой в конце срока. В течение всего срока действия договора основная сумма долга остается неизменной. Чаще всего такой график выплат используется для краткосрочных кредитов. Например, если кредит выдается на месяц или на три месяца, кредитору нет большого смысла требовать регулярных платежей процентов, проще получить и проценты и основную сумму долга одной суммой в конце срока. Но бывают и долгосрочные займы с такой схемой платежей, например, облигация с нулевым купоном.

Преимущество – простота вычисления. Все выплаты долга откладываются на конец периода. Это может быть удобно некоторым заемщикам, у которых на начальном этапе недостаточно денег для обслуживания долга. Но это также и недостаток, поскольку для погашения всей суммы долга и процентов потребуется собрать большую сумму к определенной дате, либо рефинансировать долг. Для обслуживания кредита обычно заранее создают фонд погашения, в который должны делаться периодические отчисления, чтобы к концу срока у организации было достаточно денежных средств для осуществления крупной единовременной выплаты.

Для кредитора слишком велики риски, особенно если заём или кредит предоставляется на длительный срок. Заемщик должен будет выплатить большую сумму процентов.

Кредит с выплатами исключительно процентов и погашением основного долга одной суммой в конце срока (interest-onlyloan)

Проценты выплачиваются регулярно в течение срока действия договора, а основная сумма долга выплачивается одной суммой (lump sum payment) в конце срока. В случае фиксированной процентной ставки суммы выплат процентов будут одинаковыми в каждом периоде. Если процентная ставка плавающая или корректируемая, суммы выплат процентов будут меняться в зависимости от значения процентной ставки.В течение всего срока действия договора основная сумма долга остается неизменной.

Также простой с точки зрения вычислений способ. Кредитор регулярно получает проценты в течение всего срока займа или кредита. В конце срока заемщик должен будет выплатить меньшую сумму, чем в случае займа с одной выплатой, включающей сумму процентов за весь срок кредита. Но все равно нужно заранее готовиться к выплате долга и создавать фонд погашения, либо рефинансировать долг.

Амортизируемый кредит с равными общими выплатами (constant payment loan), известный также как кредит с аннуитетными платежами (annuity loan)

В течение всего срока регулярно осуществляются одинаковые общие выплаты, включающие выплаты процентов на непогашенную часть долга, и выплаты основной суммы долга. Основная сумма долга постепенно уменьшается во времени. Вначале большая часть выплат приходится на проценты, но по мере уменьшения остатка непогашенного долга ситуация меняется, и в конце периода большая часть выплат приходится на погашение основной суммы долга.

Различают два вида аннуитетов:

1) с выплатами в конце каждого периода (постнумерандо);

2) с выплатами в начале каждого периода (пренумерандо).

Момент осуществления выплат влияет на расчет сумм процентов и общих сумм периодических выплат.

Займы и кредиты с аннуитетными выплатами в начале периода на практике встречаются редко. Аннуитет пренумерандо характерен для депозитов, в которых средства вкладываются в начале каждого периода. Также он встречается в договорах аренды, по которым арендатор обязан выплачивать арендные платежи арендодателю в начале периода.

Способ удобен для планирования бюджета. Долг можно регулярно погашать за счет поступлений от основной деятельности. Заемщик получает большую часть налоговой экономии по процентам в начале срока займа или кредита. Недостаток в том, что поначалу приходится платить большие проценты. Довольно длительный срок погашения основной суммы долга.

Амортизируемый кредит с равными выплатами основной суммы (amortized loan with equal principal payments), известный также как кредитс дифференцированными платежами

В течение всего срока регулярно осуществляются одинаковые общие выплаты основной суммы долга. Так как остаток непогашенного долга уменьшается во времени, суммы процентов будут изменяться. Поэтому общие выплаты основных сумм долга и процентов будут уменьшаться во времени.

Основное преимущество способа равномерной амортизации основной суммы долга – простота и прозрачность расчетов. Позволяет быстрее погасить долг. Заемщик получает большую часть налоговой экономии по процентам в начале срока займа или кредита. Неудобство в том, что в первые периоды нужно платить большие суммы выплат. Затем выплаты постепенно снижаются. Если заемщики открывают новый бизнес или начинают новый проект, обычно вначале денежный поток фирмы меньше, но со временем увеличивается. Получается, что график погашения долга не будет совпадать с ожидаемыми денежными поступлениями заемщика. Большие выплаты по долгу приходятся на периоды, когда доходы заемщика меньше, а меньшие выплаты по долгу приходятся на периоды, когда доходы заемщика больше.

Амортизируемый кредит с равными регулярными платежами и с разовым крупным платежом («шаровой» кредит – balloonloan)

Смешанный способ, в котором сочетаются элементы амортизируемого кредита с аннуитетными платежам и кредита, погашаемого в конце срока. Часть основной суммы долга амортизируется в течение срока действия кредита. Другая часть выплачивается в виде одного разового платежа или в виде серии нескольких крупных платежей ближе к концу срока займа или кредита.

Преимущество в том, что такой способ позволяет снизить сумму периодических выплат и сократить срок погашения. Недостаток в том, что к концу срока займа или кредита заемщик должен будет осуществить крупные выплаты, либо рефинансировать долг.

Кредит с нерегулярными платежами

График погашения с выплатами, осуществляемыми через неравные промежутки времени, либо с выплатами через равные промежутки времени, нос суммами выплат, которые меняются произвольно в течение срока действия кредита.

Кредиты с регулярным графиком погашения могут стать кредитами с нерегулярным графиком погашения, если заемщик по каким-либо причинам нарушает установленные сроки погашения или пропускает один или несколько платежей. Банки нередко идут навстречу заемщикам, испытывающим финансовые затруднения, и устанавливают для них более удобный график погашения долга, основываясь на прогнозе денежных потоков заемщика.

График погашения с нерегулярными выплатами также может возникнуть в случае досрочного погашения части долга заемщиком.

Банки иногда согласовывают даты погашения с заемщиком, учитывая особенности бизнеса, время поступления денежных потоков, этапы жизненного цикла проекта и т.п. Например, график погашения может основываться на ожидаемых сроках завершения этапов строительства и ввода объекта недвижимости в эксплуатацию. В кредитном соглашении могут быть указаны точные даты. Например, в первой половине каждого года выплаты могут отсутствовать, а начиная со второй половины года выплаты осуществляются в определенные месяцы. Такой график погашения долга может быть актуальным для фирм с сезонным бизнесом.

Также нерегулярные выплаты имеют место в случае плавающей или изменяющейся процентной ставки. Каждый раз, когда изменяется процентная ставка, суммы платежей пересчитываются.

Преимущество кредитов с нерегулярными платежами в том, что может быть подобран график выплат, удобный для заемщика. Основной недостаток в сложности расчетов, в отсутствии закономерности в осуществлении платежей. В модели необходимо указывать суммы и даты выплат для каждого периода. Итоговая сумма уплаченных процентов, скорее всего, будет выше, чем в амортизируемых кредитах с регулярными платежами.

Овердрафты и кредитные линии

Получение и погашение кредита осуществляется в произвольные даты по усмотрению заемщика в пределах согласованного лимита и срока действия овердрафта или кредитной линии.

Преимущества – гибкие условия кредита. Заемщик привлекает нужные суммы в пределах согласованного лимита тогда, когда возникает потребность в денежных средствах, и погашает долг тогда, когда появляются свободные денежные средства.

Недостатки кредитной линии в том, что она обычно обходится дороже обычного кредита. Банки взимают не только процент с остатка непогашенного долга, но и комиссию за неиспользованный лимит кредитной линии. Кроме того, кредитные линии предоставляют только надежным, проверенным заемщикам.

Заемщикам выгодно брать кредитную линию для краткосрочного финансирования, когда денежный поток сильно колеблется и образуется то дефицит, то излишек денежных средств, для покрытия кассовых разрывов или финансирования работ по выполнению заказов покупателей с последующим погашением при поступлении выручки от покупателей.

Также довольно часто употребляются термины «залповый» кредит (bullet loan) и «шаровой» кредит (balloon loan). Залповым называют кредит, который погашается в конце срока одной суммой. «Шаровым» называют кредит, при погашении которого в конце срока осуществляется один или несколько крупных платежей. Разовые крупные платежи называют «шаровыми» платежами (balloon payment).
Сленговые выражения «залповый кредит» и «шаровой кредит» иногда используются для обозначения одного и того же вида кредита: кредита с исключительно процентными выплатами и погашением основного долга одной суммой в конце срока заимствования. Более того, термин «залповый кредит» иногда употребляется даже для обозначения амортизируемого кредита с «шаровой» выплатой. Пересечение терминов может привести к путанице. Поэтому для обозначения типов кредитов надежнее указывать схему погашения основного долга и процентов.
Выплату процентов и основной суммы долга по кредиту в соответствии с графиком погашения принято называть обслуживанием кредита. Часто используемое словосочетание «погашение и обслуживание долга» содержит повтор, поскольку термин «обслуживание долга» включает погашение.
Все виды кредитов можно классифицировать на три группы, в зависимости от способа погашения долга:
1. Неамортизируемые. Основной долг выплачивается одной суммой в конце срока.
2. Амортизируемые. Основной долг полностью погашается в течение срока займа посредством регулярных платежей.
3. Частично амортизируемые. Часть основного долга погашается в течение срока займа посредством регулярных платежей, но в конце срока остается существенная часть основного долга, которая погашается единовременной выплатой.
Под амортизацией займа или кредита понимается процесс выплаты долга посредством регулярных платежей, в результате которого остаток непогашенного долга постепенно уменьшается во времени.
К неамортизируемым кредитам относятся кредит с одной выплатой и кредит с погашением в конце срока.
К полностью амортизируемым кредитам относятся кредит с аннуитетными платежами и кредит с дифференцированными платежами. Амортизируемый кредит погашается заемщиком постепенно, в течение всего срока действия кредита. Сумма долга будет уменьшаться во времени, поэтому в каждом последующем периоде проценты будут начисляться на меньшую сумму долга.
К частично амортизируемым кредитам относятся «шаровой» кредит и некоторые другие кредиты с нерегулярными платежами, в которых в конце срока остается непогашенный основной долг. Вообще, кредиты с нерегулярными платежами могут быть как полностью амортизируемыми, так и частично амортизируемыми, смотря как подобран график платежей.
Иногда встречаются комбинированные кредиты, условия которых сочетают несколько видов займов. Например, в течение первых нескольких лет выплачиваются только проценты, затем в течение следующих нескольких лет кредит погашается посредством аннуитетных или дифференцированных платежей, и в конце срока выплачивается крупный шаровой платеж.
Выделяют кредиты с периодическими выплатами только процентов (interest-only loan или IO loan). Это такие кредиты, в которых заемщик в течение установленного срока выплачивает только проценты с основной суммы долга. Основная сумма долга в течение этого времени остается неизменной. Период выплат только процентов не обязательно продолжается до конца срока кредита. После окончания срока выплат только процентов (interest-onlyterm) кредит может амортизироваться, т.е. начинают выплачиваться и основные суммы долга и проценты. Например, кредит выдается на 20 лет, в течение первых 5 лет выплачиваются только проценты, а начиная с 6-го года начинает погашаться основной долг. Такая схема погашения позволяет снизить суммы выплат в первые годы. Обычно банки предоставляют кредиты с периодическими выплатами только процентов для приобретения долгосрочных активов, сохраняющих свою стоимость в течение длительного времени, например, земельных участков и других объектов недвижимости. Если период выплаты только процентов длится до окончания срока кредита, тогда основная сумма долга погашается в конце срока одним платежом. Тогда это будет классический «залповый» кредит, погашаемый в конце срока.
По общему правилу, для всех типов кредитов и займов сначала выплачиваются проценты, затем основная сумма долга. Основная сумма долга будет выплачиваться только в том случае, если в текущем периоде сумма платежа больше суммы накопленных процентов. Проценты начисляются на остаток непогашенного долга. Если сумма платежа меньше суммы начисленных процентов, возникают отложенные проценты, т.е. начисленные, но не выплаченные.
Из этого общего правила бывают исключения. Одно из таких исключений – кредиты с добавленным процентом (add-oninterest). Такие кредиты выплачиваются равными частями, причем суммы выплат процентов и выплат основного долга остаются постоянными. В кредитах с добавленной ставкой процента обычно используется простая ставка. Сумма процентов за весь срок кредита добавляется к сумме основного долга в момент получения кредита. Сумма погашения основного долга рассчитывается путем деления основной суммы долга в момент заключения договора на число выплат. Сумма периодических выплат процентов также рассчитывается путем деления суммы процентов за весь срок кредита на число выплат. При таких условиях кредита в расчете суммы процентов не учитывается снижение остатка непогашенного основного долга. Даже если часть долга была выплачена, проценты начисляются на начальную сумму долга в течение всего срока кредита. Поэтому эффективная ставка процента будет значительно выше объявленной ставки процента. Чем чаще осуществляются выплаты, тем выше будет эффективная ставка процента в сравнении с объявленной.
Предположим, получен кредит на сумму 500 000 руб. с простой добавленной ставкой, равной 15% годовых на срок 2 года с ежемесячными выплатами. Сумма процентов за весь срок кредита равна 150 000 руб. (500 000 x15% x 2 года). Добавив сумму процентов к основному долгу, получаем общую сумму, равную 650 000 руб. В течение двухлетнего срока кредита будет сделано 24 равных платежа. Сумма платежа равна приблизительно 27 083,33 руб. Из них 20 833,33 руб. приходится на погашение основного долга и 6 250 руб. приходится на выплату процентов. Сумму процентов также можно рассчитать путем умножения месячной ставки процента на начальную сумму долга: Эффективная ставка процента кредита с такими условиями равна 30,07%, что значительно выше объявленной ставки 15%.

 
Периодичность выплат
Выплаты процентов и основной суммы долга могут осуществляться ежемесячно, ежеквартально, каждые 6 месяцев или ежегодно. Встречаются также кредиты, в которых выплаты осуществляются еженедельно, два раза в месяц, каждые 2 месяца. Возможны также схемы погашения долга, в которых периодичность выплаты процентов и погашения основной суммы долга различается. Например, проценты могут выплачиваться ежемесячно, а основная сумма долга амортизируется ежеквартально или ежегодно. Но такие схемы встречаются редко. Обычно период выплаты процентов и период погашения основной суммы в амортизируемых кредитах совпадают, так как это упрощает расчет платежей.

 
Правила построения финансовых моделей
При создании финансовых моделей важно соблюдать ряд правил (см., например, рекомендации Spreadsheet Standards Review Board. 2013). Перечислю некоторые из наиболее важных:
– Исходные данные должны быть обязательно отделены от расчетов. Они должны находиться в разных частях листа или на разных листах. Кроме того, к исходным данным рекомендуется применять цветовое кодирование, т.е. обозначать исходные данные особым цветом шрифта. Удобно использовать для этой цели синий цвет. Также можно использовать заливку ячеек.
– Необходимо структурировать информацию в блоке исходных данных. В частности, следует указывать исходные данные, перечни допущений и применяемых методов расчетов, сгруппированные по смыслу, по разделам модели, а также настройки модели. Каждую группу исходных данных следует обозначать осмысленными заголовками, раскрывающими содержание раздела или группы. В настройках модели указывают общие параметры и константы, например, число знаков после запятой, которые требуется учитывать для предотвращения ошибки округления.
– Указывать все допущения модели в явной форме. К примеру, если модель кредита построена только для конкретного типа кредита, в перечне допущений следует указать этот тип кредита. Если расчет выполнен из предположения ежемесячных выплат, это предположение следует указать в списке допущений. Наряду с допущениями следует раскрывать применяемые методы расчетов, например, в модели кредита следует указать применяемое правило подсчета числа дней. Если используются упрощения, о них также следует сообщить в блоке исходных данных.Допущения и методы можно раскрыть на отдельном листе в разделе документации к модели. Но лучше указывать их на видном месте рядом с исходными данными, поскольку многие допущения и методы расчетов оказывают влияние на ввод исходных данных.
– В строке допускается использовать только одну формулу. Формула записывается в крайней левой ячейке зарезервированной для расчетов области листа, а затем копируется слева направо. Поскольку иногда требуются ссылки на предшествующие временные периоды, рекомендуется оставить один столбец для указания начальных значений, начальных остатков и т.п. (Свон, 2008).
– За редкими исключениями, исходные данные нельзя указывать (в виде числовых значений, дат, текстовых или иных значений) непосредственно в формулах. В формулах предпочтительнее использовать ссылки. Любые константы лучше записывать в отдельные ячейки в блоке исходных данных или в блоке настроек модели, а в формулах использовать ссылки на эти ячейки. Это правило не распространяется на константы, которые не будут меняться ни при каких условиях, и константы, которые заложены в саму логику формулы (Авон, 2013). В последнем случае изменение значения константы ничего не даст, для модификации модели в любом случае придется менять формулу. Например, если в формуле требуется возвести в квадрат, значение степени может быть указано непосредственно в формуле, если это значение ни при каких условиях не будет меняться.
– Расчеты необходимо разбить на логические блоки (группы строк) и для каждого блока указать осмысленные названия, отражающие содержание расчетов. Самостоятельные участки расчетов следует отделять друг от друга пустыми строками.
– Иногда в расчетах необходимо выводить в ячейки пустые значения. Например, для периодов до получения кредита и погашения кредита. Ячейки с формулами, выводящими пустые значения легко спутать с пустыми ячейками, не содержащими вообще никаких данных. Если в строке или в столбце с формулами выводятся пустые значения, их следует помечать заливкой цветом или узором. Для этого применяют условное форматирование, так как содержимое ячеек может меняться при обновление исходных данных.
– Обязательно следует выполнять проверки участков расчетов, в которых высока вероятность ошибок, и проверки выполнения обязательных условий, например, схождение баланса, равенство поступлений и выплат основного долга по кредитам. Для этого создают проверочные ячейки и строки. Рекомендуется выполнять итоговую проверку и выводить подтверждения правильности расчетов, сообщения об ошибках или предупреждения на каждом листе на видном месте.

 
Моделирование кредита с погашением в конце срока
Вначале рассмотрим самый простой вариант модели кредита с погашением в конце срока, чтобы понять основные принципы моделирования выплат по долгу. Это самый простой тип кредита, так как сумма долга не изменяется в течение всего срока договора. Погашение осуществляется одной выплатой в конце срока погашения. В течение срока кредита регулярно выплачиваются проценты, поэтому такой кредит относится к категории кредитов с выплатами только процентов (interest only loan).
Модель нужно построить так, чтобы можно было указать год поступления и срок кредита, и все платежи указывались в столбцах, соответствующих периодам временной шкалы. Для этого требуется написать формулы, которые будут сопоставлять периоды на временной шкале с периодами поступления, погашения кредита, начисления, выплат процентов и т.п., указанными в блоке исходных данных. Такие формулы могут быть довольно сложными и длинными, поэтому их нежелательно включать непосредственно в расчет платежей. Вместо этого рекомендуется использовать маски, флаги, индексы и иные вспомогательные переменные, записанные в отдельных строках.
Флаги и маски – логические переменные, принимающие значение 0 или 1. С помощью флагов отмечаются единичные события. Если событие произошло (выполняется условие или несколько условий, записанных в формуле), флаг выводит значение 1. С помощью масок отмечают отрезки времени, состоящие из нескольких периодов, для которых выполняются некоторые условия.
Если условия не выполняются, флаги и маски выводят значение 0 для соответствующих периодов. Поэтому в дальнейшем достаточно будет умножить любую формулу на флаг или маску. При умножении на ноль значение переменной станет равным нулю. При умножении на 1 будет выведено значение формулы.
Другие вспомогательные переменные могут показывать порядковый номер периода с начала временной шкалы или с момента получения кредита или с момента наступления иного события, значение года, квартала или месяца и т.п.
Маски, флаги, индексы и вспомогательные переменные позволяют упростить формулы, делают расчет более прозрачным. С их помощью можно сопоставить определенные события или условия с датами на временной шкале. В моделях займов и кредитов требуются, как минимум, флаг поступления долга, флаг (для неамортизируемых кредитов) или маска (для амортизируемых кредитов) погашения долга, маска выплаты процентов, в некоторых случаях маска начисления процентов.
Наиболее сложная часть расчетов по кредитам связана с учетом дат выплат процентов и основных сумм долга. На шкале времени нельзя отложить два момента – начало и конец периода. Для каждого периода времени используется только один столбец. Из-за этого возникают сложности с расчетом сумм начисленных процентов по кредиту в первый и последний периоды времени.
Обычно в финансовых моделях используют либо допущение, что все денежные поступления и выплаты осуществляются в конце периода, либо допущение, что они осуществляются в середине периода. Этот принцип можно использовать и при моделировании кредитов. Удобнее всего допущение, что все поступления и выплаты осуществляются в конце периода. Если период расчета в модели равен году, то допущение конца периода означает, что все поступления и выплаты будут осуществляться в последний день года. Если период расчета в модели равен месяцу, то допущение конца периода означает, что все поступления и выплаты будут осуществляться в последний день месяца.
Представьте, что вы составляете финансовую модель инвестиционного проекта с периодом расчета, равным году. Допустим, в блоке исходных данных указывается, что 5-летний кредит с погашением в конце срока будет взят в 2016 году. Что это означает? Кредит поступает 1 января 2016 года? 1 июля 2016 года? 31 декабря 2016 года? От ответа на этот вопрос будут зависеть формулы расчета процентов и результаты вычислений.
Если предположить, что кредит будет взят 1 января 2016 года, это будет означать, что он будет погашен 1 января 2021 года. При таких допущениях будет затруднительно сделать расчет процентов за первый и последний год и погашение долга в последний год.
Проценты начисляются на сумму остатка долга на начало периода. Остаток долга на начало периода равен остатку на конец предшествующего периода. Поэтому, если кредит поступает 1 января или в течение года, остаток долга на начало периода равен нулю. Следовательно, сумма процентов, рассчитанная за первый год, также будет равна нулю. Но это не соответствует исходным данным и допущениям. Можно, конечно, скорректировать расчет процентов за первый год, но это не самая лучшая идея.
Более того, в модели будет указано, что долг погашается в течение 2021 года. Остаток долга на начало 2021 года будет равен сумме кредита. Остаток долга на конец 2021 года будет равен нулю. Это будет выглядеть так, будто бы долг погашается в конце 2021 года. Числа в таблице плохо согласуются с допущением о поступлении долга в начале года.
Также придется корректировать расчет процентов за последний год. Если долг погашается 1 января 2021 года, значит сумма начисленных процентов в 2021 году почти не отличается от нуля. Но как сделать правильный расчет, если остаток долга на начало 2021 года равен сумме взятого кредита?
Если вы решите использовать допущение о том, что долг поступает в начале периода, выплачивается в конце периода, модель станет трудной для понимания. Как вы потом будет различать, какие суммы имеют место в начале периода, а какие суммы в конце периода?
Пример такого неправильного расчета представлен на рисунке 1.Поступление кредита происходит в начале периода. На начало периода сумма поступлений еще не учитывается в остатке непогашенного долга. В итоге в первом периоде сумма процентов будет рассчитана неверно.


Рис. 1. Пример неправильной модели «залпового» кредита с выплатами только процентов и погашением в конце срока с допущением поступления долга в начале периода

Намного удобнее считать, что долг поступает в конце года. Если планируется взять кредит 1 января 2016 года, лучше, указать в блоке исходных данных, что кредит поступает в 2015 году. Т.е. поступление кредита переносится на один день назад. С использованием допущения о поступлениях и выплатах в конце года, это будет означать, что кредит поступает 31 декабря 2015 года. Тогда он будет погашен 31 декабря 2020 года. Это допущение существенно упростит расчеты. Моменты поступления и погашения долга иллюстрируются на рисунке 2.


Рис. 2. Поступление и погашение кредита на временной шкале

Если кредит поступает 31 декабря 2015 года, за 2015 год проценты рассчитывать не нужно. Проценты начинают начисляться со следующего дня. Остаток долга на начало 2015 года равен нулю. Остаток долга на конец 2015 года будет равен сумме взятого кредита. Остаток долга на начало 2016 года будет равен остатку на конец 2015 года. Следовательно, проценты в первом году будут рассчитаны за полный 2016 год. В начале 2020 года остаток долга будет равен сумме кредита. Остаток долга в конце 2020 года будет равен нулю. Проценты в 2020 году будут начислены за весь год. Такая картина вполне соответствует исходным данным и допущениям.
Разумеется, допущение конца периода вносит искажения в вычисления. Нужно понять, какие искажения являются приемлемыми. Это зависит от характера решаемой задачи и от наличия точных и достоверных исходных данных.
Еще один недостаток допущения конца периода в том, что в финансовых отчетах долг будет указан на конец 2015 года, даже если кредит планируется взять в начале 2016 года. Конечно, при построении финансовых отчетов можно предусмотреть перенос остатка долга в нужный период. Но это приведет к путанице.
О допущении относительно момента поступлений и выплат по займам и кредитам следует помнить при вводе исходных данных. Идеальный случай, когда поступления и выплаты планируются на 31 декабря. Однако в реальности они, вероятнее всего, будут осуществляться в течение года. Если поступления ожидаются в начале года, при указании исходных данных лучше будет указать предшествующий год. 31 декабря предшествующего года больше подходит для поступлений в начале текущего года, чем 31 декабря текущего года. Не помешает разместить рядом с ячейками, в которых задаются исходные данные по займам и кредитам, пояснения для пользователей финансовой модели. Пояснения полезны не только для сотрудников, которые будут пользоваться моделью, но не знают всех ее особенностей и тонкостей. Даже если ввод данных будет осуществлять разработчик модели, все равно рекомендуется снабжать ее пояснениями. Со временем можно забыть, какие допущения использовались в модели, и указать данные не так, как нужно. Экономистам приходится строить много моделей, в которых могут использоваться разные допущения. Вместо того, чтобы надеяться на память, надежнее делать заметки, пояснения, краткие инструкции к модели.
Пример модели с использованием допущения о поступлениях и выплатах в конце года показан на рисунке 3.


Рис. 3. Пример модели «залпового» кредита с выплатами только процентов и погашением в конце срока с годовым интервалом планирования и с допущением конца периода

Исходные данные, используемые в расчетах: год получения кредита, сумма кредита, срок кредита, годовая ставка процента. Создается шкала времени, на которой откладываются годы. Затем записываются флаг поступления долга, флаг погашения долга и маска выплаты процентов.
Для расчета остатка непогашенного долга в каждом периоде применяется техника «штопора» (Свон, 2008). Расчет строится так, что остаток на начало каждого периода равен остатку на конец предшествующего периода. Остаток на конец периода равен остатку на начало соответствующего периода плюс поступление кредита и минус погашение кредита в этом периоде. С помощью «штопора» расчет получается простым и прозрачным.
По условиям примера кредит был получен 31 декабря 2015 года. Флаг поступления кредита равен 1 в 2015 году. Кредит погашается 31 декабря 2020 года, поэтому флаг погашения равен 1 в 2020 году. Маска выплаты процентов равна 1 в 2016-2020 годах.
Расчет маски выплат процентов по кредиту зависит от используемого допущения относительно момента осуществления поступлений и выплат по кредиту. При использовании допущения конца периода маска будет равна 1, если текущая дата больше даты поступления кредита и меньше или равна дате погашения кредита.
Снова взгляните на рисунок 3. Кредит взят 31 декабря 2014 года. Начисление процентов начинается со следующего дня, т.е. с 1 января 2015 года. Начисление процентов заканчивается 31 декабря 2019 года – на эту дату будет осуществлена последняя выплата процентов. Если в блоке исходных данных указывается год поступления кредита, нужно указать два условия, которые должны выполняться одновременно, – 1) текущий год должен быть меньше года получения кредита, 2) текущий год должен быть меньше или равен году погашения кредита. Если в блоке исходных данных указывается дата поступления кредита, нужно указать следующие условия – 1) текущая дата больше даты поступления кредита, 2) текущая дата меньше или равна дате погашения кредита.
Сумма процентов в каждом периоде рассчитывается путем умножения годовой ставки процента на остаток непогашенного долга на начало периода и на маску выплаты процентов. Поэтому перед тем, как приступить к расчету процентов нужно создать и заполнить «штопор», внутри которого указываются поступление кредита и погашение кредита. На основе этих данных рассчитывается остаток долга на начало периода и на конец периода.
В представленных выше примерах в блоке исходных данных указывался год получения кредита. Также в блоке исходных данных можно указать точные даты поступления и погашения кредитов, но в расчетах использовать допущение конца периода. Несмотря на то, что пользователи модели будут указывать точные даты, в расчетах не будут учитываться неполные периоды. Такой способ не имеет каких-либо преимуществ. При построении формул нужно будет использовать функции даты и логические выражения с датами. Формулы будут сложнее.
Пользователи могут быть введены в заблуждение тем, что они вводят точные даты, а расчеты выполняются на конец периода. Поэтому рядом с блоком исходных данных, в которых вводятся даты, рекомендуется разместить пояснения, раскрывающие суть допущения конца периода.
Если к финансовой модели предъявляются более жесткие требования относительно точности расчетов и дат совершения хозяйственных операций, необходимо будет учесть дробные периоды, либо выполнять расчет по датам. Об этом я расскажу позднее.
Обратите внимание на еще один момент. Погашение долга внутри штопора указывается со знаком «минус». Выплаты процентов указываются со знаком плюс. Здесь я сознательно допускаю отступление от правила использования знаков. Путаница в использовании знаков «плюс» и «минус» – одна из самых распространенных ошибок в финансовом моделировании. Если переменные указываются со знаком «минус», в формулах нужно будет использовать сложение вместо вычитания. Об этом легко забыть и совершить ошибку. Такие ошибки потом довольно сложно заметить при проверке. Поэтому в расчетах удобнее все переменные указывать без знаков «плюс» и «минус», а знаки указывать в формулах. Впоследствии, при построении отчетов переменные указывают со знаками. В отчетах используются ссылки на переменные из блока расчетов.
Внутри штопора удобнее указывать переменные со знаками. В этом случае штопор будет нагляднее. Но в дальнейшем это может привести к путанице со знаками. Чтобы устранить вероятность путаницы со знаками, рекомендуется повторно записать переменные, рассчитанные в «штопоре», в отдельных строках, но только без знака. В последующих расчетах следует ссылаться на эти строки.

 
Проверка правильности расчетов
При построении финансовой модели могут быть допущены ошибки. Кроме того, после завершения модели и передачи ее собственнику (заказчику, потребителю) пользователи могут внести собственные изменения, нарушающие логику вычислений. Для выявления и предупреждения ошибок необходимо добавлять в модель проверочные ячейки и строки, в которых будут проверяться правильность ввода исходных данных (например, год получения кредита должен быть больше года начала временной шкалы, год погашения кредита должен быть больше года получения кредита и т.п.), выполнение обязательных условий для результатов расчетов (например, равенство поступлений и выплат основного долга за весь срок кредита, равенство начисленных и выплаченных процентов и т.п.), выход значений переменных за пределы области допустимых значений (например, отрицательный остаток непогашенного долга).
Для проверки правильности расчета выплат по кредиту рекомендуется вычислить сумму всех поступлений и выплат. Это значение выводится в проверочной ячейке. Результат должен быть равным нулю. Кроме того, в представленных моделях выполняется проверка остатка непогашенного долга на конец каждого периода. Остаток не должен быть отрицательным.
В более сложных моделях можно будет добавить дополнительные проверочные ячейки или строки. Какие проверки и куда добавить становится ясным по мере составления модели, в процессе продумывания ее логики, написания формул, а также в ходе тестирования участков расчетов.
Ко всем проверочным ячейкам применяется однообразное условное форматирование. Если ошибок нет, проверочная ячейка окрашивается зеленым цветом. Если имеются ошибки, ячейка окрашивается красным цветом.
Внизу блока расчетов выполняется итоговая проверка, в которой суммируются результаты всех проверок. В верхней части рабочего листа выводится предупредительный значок (символ в кружке зеленого или красного цвета). Если в расчетах допущена ошибка, на видном месте будет выведено предупреждение.
Параметры условного форматирования ячейки с предупреждением об ошибках, которое выводится в верхней части листа в виде кружка со значками, показаны на рисунке 4.


Рис. 4. Параметры условного форматирования предупреждения об ошибках на листе

 
Моделирование кредита с единственным платежом (разовой выплатой)
Кредит с разовой выплатой и процентов и основной суммы долга в конце срока встречается редко, но о нем нужно знать. При моделировании следует обратить внимание на начисление процентов в течение срока кредита. Так как проценты выплачиваются только в конце срока кредита, необходимо рассчитать сумму накопленных процентов. При этом следует помнить о начислении процентов на проценты.
Пример модели кредита с единственной выплатой в конце срока показан на рисунке 5. Логика расчетов лишь немного отличается от той, которая применялась в модели кредита с погашением в конце срока на рисунке 3.


Рис. 5. Модель кредита с единственной выплатой в конце срока

Основное отличие связано с расчетом процентов. Поскольку проценты выплачиваются в последний день срока кредита вместе с погашением основного долга, флаг выплат процентов создавать не обязательно, можно использовать флаг погашения долга. Для расчета процентов требуется маска начисления процентов. Поскольку в представленном примере проценты начисляются ежегодно, маска начисления процентов принимает значение 1, если текущий год больше года получения кредита и меньше или равен году погашения кредита.
Так как начисленные проценты не выплачиваются сразу, а отсрочиваются до момента кредита, необходимо рассчитать сумму накопленных процентов с момента получения кредита. Суммы начисленных процентов рассчитываются по методу сложного процента. Чтобы рассчитать начисление процентов на проценты, применяется следующая формула:

Сумма процентов = (Остаток долга на начало периода + Сумма накопленных процентов в прошлом периоде) х Годовая ставка процента х Маска начисления процентов

Выплата процентов рассчитывается путем умножения суммы накопленных процентов на флаг погашения долга.
Далее идет стандартный «штопор», в котором рассчитывается остатки долга на начало и на конец каждого периода. В заключение выполняются проверка погашения кредита, проверка остатков долга на конец периода (не должны быть отрицательными) и итоговая проверка.

 
Моделирование амортизируемого кредита
Как отмечалось ранее, амортизируемые кредиты бывают двух видов:
1) с равными общими выплатами (с аннуитетным платежом);
2) с равными выплатами основной суммы долга (с дифференцированным платежом).
Упрощенная модель кредита с равными общими выплатами (constant payment loan) для годового интервала планирования показана на рисунке 6. В блоке исходных данных указывается год поступления кредита. В расчетах используется допущение конца периода.


Рис. 6. Модель амортизируемого кредита с равными общими выплатами для годового периода планирования

Структура модели такая же, как и та, что использовалась для моделирования кредита с погашением в конце срока. Рассмотрим отличия.
В каждом периоде осуществляются одинаковые выплаты, включающие проценты и погашение основного долга. Суммы процентов и погашения основного долга изменяются во времени. Вначале выплачиваются проценты, а остаток аннуитетного платежа идет на погашение основной суммы долга.
Для амортизируемых кредитов с аннуитетными выплатами необходимо рассчитать сумму периодического платежа, который позволит полностью выплатить долг и причитающиеся проценты в течение срока действия кредитного договора. Базовая формула для аннуитета с выплатами в конце периода следующая:

(1)   \begin{equation*}    a={{P}_{0}}\frac{i{{\left( 1+i \right)}^{n}}}{{{\left( 1+i \right)}^{n}}-1},  \end{equation*}

где a – сумма аннуитетного платежа;
{{P}_{0}} – начальная основная сумма долга;
i – ставка процента для периода, за который осуществляются аннуитетные выплаты;
n – количество выплат.
Логика, лежащая в основе этой формулы, следующая. Текущая стоимость аннуитетных выплат должна быть равна сумме поступлений по кредиту. Т.е.

(2)   \begin{equation*}    P{{V}_{o}}\left( \sum\limits_{t=1}^{n}{a} \right)={{P}_{o}}.  \end{equation*}

В развернутой форме

(3)   \begin{equation*}    \frac{a}{1+i}+\frac{a}{{{\left( 1+i \right)}^{2}}}+...+\frac{a}{{{\left( 1+i \right)}^{n}}}={{P}_{0}}. \end{equation*}

Поскольку денежный поток является аннуитетом формулу (3) можно записать как

(4)   \begin{equation*}  \ \frac{a}{i}-\frac{a}{i}\frac{1}{{{\left( 1+i \right)}^{n}}}={{P}_{0}}. \end{equation*}

Откуда сумма аннуитетного платежа равна

(5)   \begin{equation*}   a={{P}_{0}}\left( \frac{i}{1-\frac{1}{{{\left( 1+i \right)}^{n}}}} \right)={{P}_{0}}\frac{i\cdot {{\left( 1+i \right)}^{n}}}{{{\left( 1+i \right)}^{n}}-1}. \end{equation*}

Для расчета аннуитетного платежа в Excel используется функция =ПЛТ(). Внутри этой функции указывается ставка процента (9,5%), количество периодов, в течение которых будет выплачиваться долг (5 лет), начальная сумма кредита (5 000 тыс. руб.), будущая стоимость (0 руб.) и тип кредита (0 – выплаты производятся в конце периода). Будущую стоимость указывать не обязательно, если кредит будет полностью погашен.
Маска погашения кредита будет равна 1, начиная с года, следующего за годом получения кредита и до года погашения кредита включительно. Для расчета маски погашения кредита используется такая же формула, как и для маски выплаты процентов.
Сумма процентов рассчитывается как произведение ставки процента на остаток долга на начало периода.
Величина выплат основной суммы долга рассчитывается как разница между суммой ежегодного платежа и суммой выплат процентов. Эта разница умножается на маску погашения долга.
На рисунке 7 показана упрощенная модель амортизируемого кредита с равными выплатами основной суммы долга.


Рис. 7. Модель амортизируемого кредита с равными выплатами основной суммы долга для годового периода планирования

Модель амортизируемого кредита с дифференцированными выплатами имеет следующие особенности. Сумма периодических выплат основной суммы долга рассчитывается путем деления начальной суммы долга на количество периодов, в течение которых будут осуществляться выплаты. Сумма погашения внутри «штопора» рассчитывается как произведение суммы ежегодного платежа на маску погашения долга. В остальном все тоже самое, что и в предшествующей модели.

 
Частично амортизируемый кредит с равными регулярными платежами и с разовым крупным платежом
«Шаровой» кредит (balloon loan) – кредит, график погашения которого построен таким образом, что погашение осуществляется путем внесения ряда регулярных относительно небольших платежей и одной большой выплаты в конце срока. Крупный платеж, осуществляемый в момент истечения срока, называется шаровым платежом (balloon payment). Срок выплаты шарового платежа называется шаровым сроком погашения (balloon maturity). «Шаровые» кредиты чаще всего применяются в ипотечном кредитовании, в автокредитовании.
«Шаровой» кредит является разновидностью кредита с нерегулярными платежами. Чаще всего это комбинированный кредит, в котором в течение срока заимствования осуществляются регулярные мелкие аннуитетные платежи, посредством которых выплачивается только некоторая часть основной суммы кредита, и в конце срока оставшаяся часть займа выплачивается одним крупным платежом. «Шаровой» кредит обычно создается на основе амортизируемого кредита с аннуитетным платежом. К примеру, за основу берется кредит на сумму 10 млн. рублей по ставке 14% годовых с ежемесячными аннуитетными выплатами на срок 20 лет. Сумма регулярного ежемесячного платежа будет равна приблизительно 124 тыс. рублей. Эти условия используются для «шарового» кредита, выдаваемого на срок 5 лет. В течение 5 лет ежемесячно будут осуществляться регулярные платежи в сумме 124 тыс. рублей, а в конце 5 года должна будет выплачена оставшаяся сумма кредита, равная примерно 9 млн. 353 тыс. рублей. Посредством регулярных выплат будет погашено чуть больше 6% от суммы кредита. Оставшиеся 94% погашаются одной суммой («шаровым» платежом) в конце 5 года.
Для обозначения шаровых кредитов обычно используют следующий формат: «число лет до погашения/число лет, используемых для расчета аннуитетных выплат». К примеру, регулярные аннуитетные выплаты рассчитываются как для 30 летнего аннуитетного кредита, а фактический срок кредита, в конце которого осуществляется «шаровой платеж», равен 7 годам. Для обозначения такого кредита используется обозначение «шаровой кредит “7/30”».
Пример модели частично амортизируемого «шарового» кредита показан на рисунке 8.


Рис. 8. Модель частично амортизируемого кредита с аннуитетными платежами и с «шаровым» платежом в конце срока

Обычно для «шарового» кредита указывают срок, на основании которого рассчитывается сумма аннуитетного платежа, и срок действия кредита. Именно этот способ показан в блоке исходных данных на рисунке 8. Сумма аннуитетного платежа рассчитывается исходя из начальной суммы кредита и срока расчета аннуитетных платежей. Сумма «шарового» платежа заранее неизвестна. Она рассчитывается на основании исходных данных.
Иногда для «шарового» кредита указывают сумму поступлений, срок и сумму «шарового» платежа. Тогда сумму аннуитетного платежа рассчитывают по формуле с учетом требуемого неамортизированного остатка долга в конце срока кредита. Для этого можно использовать функцию =ПЛТ(), в которой есть аргумент «бс» – требуемый остаток средств после последнего аннуитетного платежа. Но такой вариант я не рассматриваю.
Сумма «шарового» платежа в конце срока равна остатку долга на конец последнего периода. В последнем периоде также осуществляется аннуитетный платеж. Поэтому сумма общего платежа в конце периода будет состоять из аннуитетного платежа и «шарового» платежа. Причем сумма процентов будет учтена в составе аннуитетного платежа.
Сумму шарового платежа можно вычислить, зная сумму аннуитетного платежа, сумму поступлений по кредиту, периодическую ставку процента и число аннуитетных выплат.
Дисконтированная сумма выплат должна быть равна сумме поступлений по кредиту

(6)   \begin{equation*}  \ \frac{a}{1+i}+\frac{a}{{{\left( 1+i \right)}^{2}}}+...+\frac{a}{{{\left( 1+i \right)}^{n}}}+\frac{B}{{{\left( 1+i \right)}^{n}}}={{P}_{0}}, \end{equation*}

где B – сумма шарового платежа в конце срока.
Формулу (8) можно упростить

(7)   \begin{equation*}  \ \frac{a}{i}-\frac{a}{i}\frac{1}{{{\left( 1+i \right)}^{n}}}+\frac{B}{{{\left( 1+i \right)}^{n}}}={{P}_{0}}. \end{equation*}

Откуда сумма шарового платежа равна

(8)   \begin{equation*}   B={{P}_{0}}-\frac{a}{i}\left( 1-\frac{1}{{{\left( 1+i \right)}^{n}}} \right){{\left( 1+i \right)}^{n}}. \end{equation*}

Расчет суммы «шарового» платежа можно также выполнить с помощью функции =БС(). Такой вариант также показан на рисунке 8. Функция =БС() возвращает будущую стоимость инвестиции с аннуитетными платежами в течение указанного числа периодов. Функция содержит аргумент «пс» – текущая стоимость всех платежей.

 
Заключение
Тема моделирования займов и кредитов довольно объемная. Формат статьи не позволяет раскрыть ее полностью. В данной публикации я изложил только основы и представил упрощенные модели для разных видов кредитов. В следующих статьях я объясню, как правильно учесть кредитные каникулы, рассчитать отложенные проценты и отрицательную амортизацию, как построить модель с точными датами поступлений и выплат, как учесть неполные отчетные периоды, правила начисления процентов, способы подсчета числа дней между датами выплат и числа дней в году. Также будут затронуты вопросы моделирования кредитной линии, моделирования нескольких кредитов и займов с разными условиями, правильного отражения займов и кредитов в прогнозной финансовой отчетности с учетом требований МСФО.

 
Литература
Avon, Jack. 2013. “The Handbook of Financial Modelling: A Practical Approach to Creating and Implementing Valuation Projection Models,” New York: Appress®. 484 p.
Spreadsheet Standards Review Board. 2013. “Best Practice Spreadsheet Modeling Standards — Version 7.0. – Commentary & Examples,” Melbourne: Best Practice Modelling. 279 p.
Swan, Jonathan. 2008. “Practical Financial Modelling: A Guide to Current Practice,” 2nd ed. Oxford: Elsevier. 282 p.

2 комментария

Оставить комментарий
  1. Александр

    Добрый день, Сергей!
    Большое спасибо за подробное описание основных аспектов моделирования различных видов кредитов.
    Как я понял, у статьи есть продолжение. Где можно с ним ознакомиться? Особенно хотелось бы узнать побольше о моделировании кредитной линии, а также о моделировании кредитов с учетом требований МСФО.

    1. Сергей Черемушкин

      Здравствуйте, Александр! Я написал продолжение и направлял его в журнал. Но журнал не стал публиковать этот материал. Обычно журналы не приветствуют длинные серии статей. По видимому, редколлегия решила, что было слишком много публикаций по этой теме. К тому же, если мне не изменяет память, продолжение приходилось на следующий год. Редакторы журналов не любят переносить продолжения статей на следующий год. Считается, что новый год нужно начинать с чистого листа, с новых тем. Не знаю, когда удастся опубликовать. В ближайшем будущем навряд ли получится. Если вы интересуетесь этой темой не просто из любопытства, могу предоставить платные консультации — разработка финансовой модели, помощь с расчетами (в том числе по кредитной линии), проверка финансовой модели. Если вас это интересует, пишите на электронную почту cheremushkinsergei@gmail.com. Размер платы определяется индивидуально в зависимости от содержания и сложности поставленной задачи.

Добавить комментарий для Александр Отменить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Сергей Черемушкин © 2014 Frontier Theme