Условия применения и ограничения показателей результативности инвестиционных проектов

Assumptions and limitations of investment project performance measures

С.В. Черемушкин,
к.э.н.

Sergei V. Cheremushkin,
Ph. D.

e-mail: cheremushkinsergei@gmail.com
Сайт: http://www.sergei-cheremushkin.ru/

Аннотация: В статье рассматриваются допущения, заложенные в показатели результативности инвестиционных проектов. Особое внимание уделяется допущению о реинвестировании промежуточных денежных потоков, которое часто приписывают критериям NPV и IRR. В статье доказывается, что допущение о реинвестировании промежуточных денежных потоков NPV и IRR является заблуждением. Разъясняется, что IRR не оценивает доходность промежуточных денежных потоков за весь срок жизни проекта, а только на момент поступления денег.

Abstract: The paper considers assumptions inherent to capital budgeting performance measures. Special attention is paid to reinvestment assumption ascribed to NPV and IRR criteria. The paper proves that reinvestment assumption is a logical fallacy. It explains that IRR should not be interpreted as a rate of return over the life of the project, but instead IRR represents a complex rate of return until the moments of cash receipts.

Ключевые слова: NPV, IRR, MNPV, MIRR, PI, BCR, допущение о реинвестировании, инвестиционный проект, измерение результативности, капитальное бюджетирование

Key words: NPV, IRR, MNPV, MIRR, PI, BCR, reinvestment assumption, investment project, performance measurement, capital budgeting

 

Каким из показателей руководствоваться при отборе инвестиционных проектов
Для принятия инвестиционных решений применяется множество показателей: NPV, IRR, MNPV, MIRR, PI, BCR, период окупаемости (PB), дисконтированный период окупаемости (DPB), эквивалентный годовой аннуитет (EAA), бухгалтерская ставка доходности (ARR) и др. У каждого из показателей имеются свои достоинства и недостатки, ограничения в использовании. Показатели раскрывают разную информацию. Чтобы правильно применять эти показатели, требуется знать и понимать концепции, на которых они основаны, учитывать заложенные в них допущения. Сложность в том, что до сих пор в профессиональной литературе нет полной ясности в отношении некоторых существенных концептуальных вопросов.
Пожалуй, проблема состоит в том, что основополагающие вопросы методологии дисконтирования денежных потоков в основном исследовались в 60-х – 70-х годах XX века. Хотя дискуссия все еще продолжается, она протекает довольно вяло. Немногие исследователи решаются пересматривать то, что считается уже решенным, азами. Большинство исследователей предпочитают строить сложные математические конструкции, развивать продвинутые методологии. Но если не пересматривать противоречия в основополагающих вопросах, создается опасность возникновения ошибок и в сложных конструкциях, которые всегда состоят из простых «кирпичиков».
В учебной литературе обычно приводят упрощенные формулы и рекомендации, не раскрывая ограничения и условия применения этих формул. В итоге специалисты часто применяют формулы из учебников механически, не задумываясь о том, насколько заложенные в них допущения соответствуют условиям решаемой задачи.
Один из наиболее спорных вопросов в финансовой литературе – допущение о реинвестировании промежуточных денежных потоков, якобы присущее показателям NPV и IRR (Уолкер, Чек и Рэндэлл, 2011). Почему вопрос допущений, лежащих в основе NPV и IRR, так важен? Не является ли это просто академической дискуссией, имеющей отдаленное отношение к реальности? Многие компании используют NPV и IRR в качестве основных критериев принятия инвестиционных решений. Например, в стратегии ОАО АФК «Система» в своих стратегических документах указывает, что инвестиционные проекты отбираются лишь в том случае, если они превышают установленные значения ROIC, NAV (чистая стоимость активов) и IRR, при условии, что IRR превышает WACC на инвестиционном горизонте в 5-7 лет . Эти критерии используются при принятии решений по приобретению новых активов и при принятии решений о выходе из имеющихся активов. АФК «Система» – диверсифицированная финансовая компания, которая последовательно реализует принципы портфельного управления активами. В качестве основной цели компания провозглашает поддержание сбалансированного портфеля, состоящего из крупных приносящих существенные денежные потоки «базовых активов» и «развивающихся активов» на ранней стадии развития. Управление инвестициями основывается на поддержании высокого уровня возврата на инвестированный капитал в существующих активах, а также реинвестирование большей части свободных денежных средств в новые инвестиционные проекты.
Вопрос допущения о реинвестировании очень важен, поскольку от его решения зависит, насколько верны показатели финансовой результативности, конструкция которых основывается на NPV или IRR. Таких показателей сегодня довольно много. Кроме того, от решения вопроса допущения о реинвестировании зависит, на основании каких критериев следует осуществлять отбор инвестиционных проектов. Инвестиционные решения связаны с распоряжением огромными суммами финансовых и материальных ресурсов. Инвестиционные проекты нередко имеют продолжительные сроки жизни, и все это время компания может связать себя различными решениями, обязательствами, которые не подлежат пересмотру до тех пор, пока реализуется проект. Иными словами, инвестиционные решения всегда имеют значительные последствия для фирмы и ошибки в этой области могут быть очень болезненными. В литературе в качестве конечных критериев отбора инвестиционных проектов называются NPV и метод реальных опционов (real options valuation или сокращенно ROV). При этом метод реальных опционов, по сути, является лишь уточнением метода NPV, учитывающим возможность пересмотра решений, осуществления в будущем выбора в случае разрешения неопределенности, изменения существенных условий и факторов внешнего окружения. Однако когда NPV отводят роль «единственно верного и непротиворечивого показателя» для отбора инвестиционных проектов (Бригхам и Эрхардт, 2010; Магни, 2010), вводят целый ряд идеализированных предпосылок и допущений, которые не выполняются в реальности. Поэтому на практике в качестве критериев отбора инвестиционных проектов могут быть полезными и другие показатели в зависимости от условий решаемой задачи и принятой стратегии инвестиционной деятельности. Ни один из показателей не является единственно верным. У каждого имеются свои недостатки и ограничения в использовании. У каждого имеются также свои достоинства.
Что характерно, вопрос реинвестирования денежных потоков давно снят в литературе по инженерной экономике, но продолжает дискутироваться в финансовой литературе. Правда, в инженерной экономике вопрос о реинвестировании денежных потоков рассматривается с использованием более сложного математического аппарата, а потому доказательства оказываются сложнее для восприятия. С нашей точки зрения, чтобы распутать клубок, лучше использовать наиболее простые и очевидные доказательства, доступные пониманию как можно более широкого круга читателей.

 

NPV и допущение о реинвестировании
Постановка проблемы реинвестирования денежных потоков содержится в работе Соломона (1956). Заметив, что между критериями NPV и IRR возникает конфликт при оценке проектов с различными сроками жизни, Соломон предложил сравнивать инвестиционные проекты с точки зрения их относительной стоимости на конечную дату самого продолжительного из сравниваемых проектов. В итоге он сделал вывод, что метод дисконтирования денежных потоков содержит имплицитное допущение о том, что промежуточные денежные потоки до конца жизни проекта реинвестируются по ставке, равной ставке дисконтирования денежных потоков проекта. Метод внутренней нормы доходности IRR, по мнению Соломона, содержит имплицитное допущение о том, что промежуточные денежные потоки до конца жизни проекта реинвестируются по ставке, равной внутренней норме доходности этого проекта.
Впоследствии этот аргумент получил развитие в виде показателя модифицированной чистой текущей стоимости MNPV. Формулировка MNPV предполагает, что все денежные поступления и выплаты сначала оцениваются по будущей стоимости на конец срока жизни проекта, а затем дисконтируются обратно к начальному моменту времени:

 

    \[MNPV=\sum\limits_{t=0}^{n}{\frac{{{I}_{t}}}{{{\left( 1+r \right)}^{t}}}+}\frac{\sum\limits_{t=1}^{n}{C{{F}_{t}}\cdot {{\left( 1+\phi \right)}^{n-t}}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}},\]

(1)

где I – инвестиционные денежные оттоки;
CF – денежные притоки по проекту;
r – ставка дисконтирования (для простоты здесь мы предполагаем, что инвестиционные денежные оттоки и денежные притоки по проекту требуют одинаковой и постоянной во времени ставки дисконтирования);
\phi – ставка реинвестирования для промежуточных денежных потоков;
t – временной индекс;
n – срок жизни проекта. Сделаем также замечание относительно алгебраического знака денежных потоков: денежным притокам присваивается положительный знак, денежным оттокам – отрицательный знак.
Если выразить NPV с помощью формулы (1), то получается, что формула NPV математически эквивалентна формуле реинвестирования промежуточных денежных потоков по ставке реинвестирования, равной ставке дисконтирования денежных потоков проекта:

    \[NPV=\sum\limits_{t=0}^{n}{\frac{{{I}_{t}}}{{{\left( 1+r \right)}^{t}}}+}\frac{\sum\limits_{t=1}^{n}{C{{F}_{t}}\cdot {{\left( 1+r \right)}^{n-t}}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}},\]

(2)

где r – ставка дисконтирования проекта (в данном случае она же и ставка реинвестирования промежуточных денежных потоков).
Это математическое равенство позволило исследователям утверждать, что NPV содержит скрытое допущение о реинвестировании промежуточных денежных потоков по ставке, равной ставке дисконтирования первоначальных денежных потоков. Но это логически ложный вывод. Математическое равенство не обязательно подразумевает логическое тождество.
Это нетрудно показать и математически. Важно заметить, что для промежуточных денежных потоков с момента их реинвестирования требуется особая ставка дисконтирования, которая будет правильно отражать риск реинвестирования (Черемушкин, 2012). Возьмем произвольную ставку реинвестирования \phi , которая будет отражать риск реинвестирования промежуточных денежных потоков. Эта же ставка будет использоваться и для дисконтирования промежуточных денежных потоков. Почему ставка реинвестирования промежуточных денежных потоков должна быть равна ставке дисконтирования этих денежных потоков? Это всего лишь допущение о сохранении временной стоимости денег. Для инвесторов важно сохранить стоимость денежных притоков по проекту. Этого можно добиться различными путями: потребить денежные потоки в момент их получения, реинвестировать их в безрисковые активы, либо реинвестировать их в рисковые активы. Причем ставка реинвестирования должна по меньшей мере компенсировать потерю временной стоимости денег и риски.
Поэтому уравнение (1) следует переписать так, чтобы провести различие между ставкой дисконтирования r для первоначальных денежных потоков, поступающих в момент времени t, и ставкой дисконтирования \phi для реинвестированных промежуточных денежных потоков после момента времени t:

    \[NPV=\sum\limits_{t=0}^{n}{\frac{{{I}_{t}}}{{{\left( 1+r \right)}^{t}}}+}\sum\limits_{t=1}^{n}{\frac{C{{F}_{t}}\cdot {{\left( 1+\phi \right)}^{n-t}}}{{{\left( 1+r \right)}^{t}}{{\left( 1+\phi \right)}^{n-t}}}},\]

(3)

где r – ставка дисконтирования для первоначальных денежных потоков на момент времени t;
\phi – ставка реинвестирования и одновременно ставка дисконтирования для реинвестированных промежуточных денежных потоков после момента времени t. Как видим, ставка \phi не обязательно должна быть равна ставке r.
Лучше всего рассмотреть это на числовом примере. Предположим, мы оцениваем денежный поток, состоящий из следующих выплат: -500, 200, 300, 400, осуществляемых соответственно в 0, 1, 2 и 3 годы. Пусть ставка дисконтирования денежных потоков проекта составляет 10%. Расчет NPV будет следующим:

    \[NPV=-500+\frac{200}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{1}}}+\frac{300}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}}+\frac{400}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{3}}}\approx 230.3.\]

Согласно Соломону и некоторым другим исследователям (Кеоун и др.; 2002 Форбс, Хатем и Пауль, 2008), допущение о реинвестировании состоит в том, будто бы промежуточные денежные потоки реинвестируются до конца жизни проекта по ставке дисконтирования проекта, т.е. в данном случае по ставке 10%. В нашем примере это затрагивает денежные поступления, полученные в первом и втором годах. Так, поступление 200 д.е. первого года реинвестируются на два года:

200\cdot {{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}=242.

Поступление 300 д.е. второго года реинвестируются на один год:

300\cdot {{\left( 1+0.1 \right)}^{1}}=330.

Это можно представить в виде следующей математической записи:

    \[\begin{matrix} NPV=-500+\frac{200\cdot {{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{3}}}+ \\ +\frac{300\cdot {{\left( 1+0.1 \right)}^{1}}}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{3}}}+\frac{400}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{3}}}\approx 230.3. \\ \end{matrix}\]

До этого в литературе не придавали должного внимания тому, что при наличии допущения о реинвестировании промежуточных денежных потоков по ставке дисконтирования проекта (в случае NPV) или по ставке IRR (в случае IRR) автоматически накладывается допущение о том, что эти промежуточные денежные потоки будут также дисконтироваться по той же самой ставке. Предыдущую формулу можно представить в следующем виде:

    \[\begin{matrix} NPV=-500+\frac{200\cdot {{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}}{\left( 1+0.1 \right){{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}}+ \\ +\frac{300\cdot {{\left( 1+0.1 \right)}^{1}}}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}{{\left( 1+0.1 \right)}^{1}}}+\frac{400}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{3}}}\approx 230.3. \\ \end{matrix}\]

Следует обратить внимание на то, что вместо ставки дисконтирования и реинвестирования 10% для промежуточных денежных потоков мы можем использовать любую другую ставку. Например, предположим, что промежуточные денежные потоки проекта реинвестируются в безрисковые облигации по ставке 5%. Но тогда и подходящая ставка дисконтирования для них будет не 10%, а 5%. Поскольку реинвестиции безрисковые, в ставке дисконтирования промежуточных денежных потоков отсутствует премия за риск:

    \[\begin{matrix} NPV=-500+\frac{200\cdot {{\left( 1+0.05 \right)}^{2}}}{\left( 1+0.1 \right){{\left( 1+0.05 \right)}^{2}}}+ \\ +\frac{300\cdot {{\left( 1+0.05 \right)}^{1}}}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}{{\left( 1+0.05 \right)}^{1}}}+\frac{400}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{3}}}\approx 230.3. \\ \end{matrix}\]

Если реинвестиции рисковые, то ставка дисконтирования должна отражать риск реинвестиций, а не риск исходного проекта. Как видим, в формуле NPV нет допущения о том, что денежные потоки должны обязательно реинвестироваться по ставке 10%. Они вообще не обязательно должны реинвестироваться. Математика формулы это тоже позволяет. Предположим, что денежные потоки сразу же потребляются. Тогда, математически можно записать, что ставка реинвестирования равна 0%. Но в этом случае и ставка дисконтирования будет равна 0%. В итоге имеем:

    \[\begin{matrix} NPV=-500+\frac{200\cdot {{\left( 1+0 \right)}^{2}}}{\left( 1+0.1 \right){{\left( 1+0 \right)}^{2}}}+ \\ +\frac{300\cdot {{\left( 1+0 \right)}^{1}}}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}{{\left( 1+0 \right)}^{1}}}+\frac{400}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{3}}}\approx 230.3. \\ \end{matrix}\]

Как видим, реинвестиции вообще не обязательны. По всей видимости, именно такой сценарий изначально рассматривался при разработке формулы NPV. Просто раньше никто не обратил внимания на такую, казалось бы, мелочь. Исследователи упустили из виду вопрос о том, по какой ставке промежуточные денежные потоки должны дисконтироваться. В литературе подразумевается, что промежуточные денежные потоки дисконтируются по той же ставке, что и денежные потоки проекта. В этом то и состоит суть проблемы. Ставка дисконтирования проекта отражает риски проекта. А реинвестирование промежуточных денежных потоков будет осуществляться в другие проекты, которым присущи свои риски. Поэтому и ставка дисконтирования промежуточных денежных потоков будет отличаться от ставки дисконтирования исходных денежных потоков проекта.
Наше доказательство состоит лишь в том, что мы обратили внимание не только на ставку реинвестирования, но и на ставку дисконтирования промежуточных денежных потоков и представили формулу в развернутом виде. Преобразование формулы позволяет лучше увидеть внутреннюю логику математической формулы. Преобразование элементарное, но существенное для окончательного решения проблемы. Мы со всей очевидностью можем видеть, что применение ставки реинвестирования и дисконтирования промежуточных денежных потоков, равной 10%, – это всего лишь частный случай. В действительности мы можем взять произвольную ставку реинвестирования промежуточных денежных потоков. Требование лишь одно – эта ставка должна применяться также для дисконтирования промежуточных денежных потоков. Отсутствие допущения о реинвестировании в IRR доказывается сходным образом, но требуется правильно учитывать смысл IRR. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

 

IRR и допущение о реинвестировании
IRR имеет два толкования:
– максимальная ставка дисконтирования, при которой NPV проекта остается положительным;
– измеритель доходности денежных поступлений от проекта.
В первом случае, когда IRR используется в качестве максимальной ставки дисконтирования, при которой NPV проекта остается положительным, ни о каком допущении о реинвестировании промежуточных денежных потоков не может быть и речи. Показатель используется для оценки запаса прочности проекта на случай изменения ставки дисконтирования. Ставку дисконтирования очень непросто точно оценить. Всегда остаются сомнения. Но если IRR намного выше применяемой для оценки выгодности проекта ставки дисконтирования, то это дает уверенность в том, что проект все еще будет выгодным в случае увеличения ставки дисконтирования или погрешности в ее оценке. Если разница между IRR и ставкой дисконтирования невелика, то возникают серьезные сомнения относительно точности оценки NPV проекта, а также опасения, что в случае увеличения ставки дисконтирования проект окажется невыгодным. В качестве максимальной ставки дисконтирования IRR используется в качестве дополнительного аналитического показателя, но не в качестве критерия для ранжирования проектов.
Второе толкование, когда IRR используется для оценки доходности денежных притоков проекта, представляет куда больший интерес. Именно вокруг него обычно возникает путаница.
Формула IRR может быть записана в развернутом виде так, чтобы можно было увидеть различие между ставкой дисконтирования r для первоначальных денежных выплат, осуществляемых в момент времени t, и ставкой дисконтирования для реинвестированных промежуточных денежных потоков после момента времени t:

    \[-\sum\limits_{t=0}^{n}{\frac{{{I}_{t}}}{{{\left( 1+{{\rho }_{t}} \right)}^{t}}}=}\sum\limits_{t=1}^{n}{\frac{C{{F}_{t}}\cdot {{\left( 1+\phi \right)}^{n-t}}}{{{\left( 1+IRR \right)}^{t}}{{\left( 1+\phi \right)}^{n-t}}}},\]

(4)

где \phi – ставка реинвестирования для промежуточных денежных потоков;
{{\rho }_{t}} – ставка дисконтирования для инвестиционных денежных оттоков в момент времени t.
Ситуация, когда \phi =IRR – это лишь особый случай формулы (4). Скобка

    \[{{\left( 1+\phi \right)}^{n-t}}\]

присутствует и в числителе и в знаменателе формулы (4), т.е. это общий множитель числителя и знаменателя дроби, который сокращается. В итоге это дает традиционную формулировку уравнения IRR.
Следовательно, мнение о том, что IRR содержит допущение о реинвестировании промежуточных денежных потоков, основывается на особом случае, когда \phi =IRR. Но неполный индуктивный логический вывод не может служить доказательством утверждения общего правила. В индуктивном логическом выводе, даже если все предпосылки аргумента верны, вывод может оказаться ложным. Опасности индуктивного вывода часто иллюстрируют следующим утверждением: «Все лебеди, которых мне приходилось видеть, белые. Следовательно, все лебеди белые». Такое утверждение всего лишь гипотеза, но не доказательство. Его легко опровергнуть, если представить факты существования лебедей, которые не являются белыми. Европейцы считали, что лебеди бывают только белыми, поскольку не видели лебедей с другим цветом оперенья. Однако голландский путешественник Виллем де Вламинк в 1697 году обнаружил в Австралии черных лебедей. Позднее было установлено, что встречаются также лебеди с опереньем серого цвета. Применительно к проблеме реинвестирования промежуточных денежных потоков в формуле IRR, индуктивное обобщение, очевидно, будет ошибочным, поскольку, основываясь на формуле (4), нетрудно привести контрпримеры. Нетрудно заметить, что \phi может быть любым числом, не обязательно равным IRR. Напротив, более вероятно, что \phi будет отличным от IRR, поскольку в действительности \phi представляет собой ставку реинвестирования и одновременно ставку дисконтирования промежуточных денежных потоков. Важный момент: ставка дисконтирования реинвестируемых промежуточных денежных потоков должна отражать риск реинвестиций, а не риск первоначальных поступлений. Ставка \phi не известна заранее. В формулу IRR просто закладывается допущение о том, что NPV реинвестиций промежуточных денежных потоков будет равно нулю. Это означает, что, получив денежные поступления по проекту, фирма или инвестор может использовать его по своему усмотрению, потратить или реинвестировать в любые активы, при условии, что при любых сценариях использования сохраняется временная стоимость заработанных проектом денег. Такое допущение вполне понятно. Цель анализа состоит в том, чтобы оценить ставку доходности самого проекта, а не каких-то определенных сценариев использования денег, полученных от проекта. При оценке доходности проекта не следует примешивать посторонние эффекты, относящиеся к возможным вариантам реинвестирования промежуточных денежных потоков. Для большей ясности приведем пример.
Рассмотрим снова денежный поток, состоящий из выплат: -500, 200, 300, 400, осуществляемых соответственно в 0, 1, 2 и 3 годы. Но на этот раз рассчитаем IRR для этого денежного потока:

    \[500=\frac{200}{(1+IRR)}+\frac{300}{{{(1+IRR)}^{2}}}+\frac{400}{{{(1+IRR)}^{3}}}.\]

IRR равна 31,69%. Допущение о реинвестировании по ставке IRR выводится на основе следующего представления формулы IRR

    \[500=\frac{200\cdot {{(1+IRR)}^{2}}}{{{(1+IRR)}^{3}}}+\frac{300\cdot {{(1+IRR)}^{1}}}{{{(1+IRR)}^{3}}}+\frac{400}{{{(1+IRR)}^{3}}}.\]

Но реинвестирование может осуществляться, например, в безрисковые активы по ставке 5%. При этом дисконтироваться с поступления до конца жизни проекта промежуточные денежные потоки будут по ставке 5%:

    \[500=\frac{200\cdot {{(1+5\%)}^{2}}}{{{(1+IRR)}^{1}}{{(1+5\%)}^{2}}}+\frac{300\cdot {{(1+5\%)}^{1}}}{{{(1+IRR)}^{2}}{{(1+5\%)}^{1}}}+\frac{400}{{{(1+IRR)}^{3}}}.\]

IRR при этом останется по-прежнему равной 31,69%. Нетрудно записать вариант, при котором реинвестировании промежуточных денежных потоков отсутствует:

    \[500=\frac{200\cdot {{(1+0\%)}^{2}}}{{{(1+IRR)}^{1}}{{(1+0\%)}^{2}}}+\frac{300\cdot {{(1+0\%)}^{1}}}{{{(1+IRR)}^{2}}{{(1+0\%)}^{1}}}+\frac{400}{{{(1+IRR)}^{3}}}.\]

Таким образом, ставка реинвестирования промежуточных денежных потоков в формуле IRR может быть любой. Важно заметить, что IRR оценивает доходность денежных потоков не за весь срок жизни проекта, а только на момент их поступлений. Доходность 200 д.е. рассчитывается за один год, доходность 300 д.е. рассчитывается за два года, 400 д.е. – за три года. Все эти доходности сравниваются с первоначальной суммой инвестиций, и выводится обобщенная величина доходности для всех выплат. Иными словами в IRR не может быть допущения о реинвестировании промежуточных денежных потоков в течение всего срока жизни проекта, потому что IRR не оценивает доходность промежуточных денежных потоков за весь срок жизни проекта. IRR оценивает доходность только на момент поступления денег. В этом то и состоит основная ошибка. IRR не следует рассматривать в качестве доходности на протяжении всего срока жизни проекта. Это легко увидеть на числовом примере, приведенном в таблице 1.

Таблица 1. IRR для различных периодов времени – сценарий 1

Время

Денежный поток, д.е.

IRR нарастающим итогом

MIRR с нулевой ставкой реинвестирования нарастающим итогом

NPV нарастающим итогом по ставке дисконтирования 10% rNPV

0

-1000

1

1500

50%

50%

363.6

36.4%

2

1

50%

23%

364.5

18.2%

3

1

50%

15%

365.2

12.2%

4

1

50%

11%

365.9

9.1%

5

1

50%

9%

366.5

7.3%

6

1

50%

7%

367.1

6.1%

7

1

50%

6%

367.6

5.3%

В таблице 1 денежный поток сконструирован специально таким образом, чтобы со 2 по 7 годы платежи инвесторам были незначительными. В численном примере они равны 1. Очевидно, что в сравнении с величиной инвестиций, равной 1000 д.е., платежи 1 д.е. не будут оказывать практически никакого влияния на характеристики проекта. Данные таблицы 1 можно рассматривать как несколько проектов с различными сроками жизни. Например, первый проект длится всего один период и состоит из двух платежей: -1000 и 1500. Второй проект длится 2 периода и состоит из трех платежей: -1000, 1500 и 1. И т.д. IRR для всех проектов, независимо от сроков их жизни остается неизменным и равным 50%, поскольку фактически он задается всего двумя выплатами: -1000 и 1500. Последующие выплаты настолько малы, что не влияют на доходность проекта. Рассмотрим еще один похожий пример в таблице 2.

 

Таблица 2. IRR для различных периодов времени– сценарий 2

Время

Денежный поток, д.е.

IRR нарастающим итогом

MIRR с нулевой ставкой реинвестирования нарастающим итогом

NPV нарастающим итогом по ставке дисконтирования 10% rNPV нарастающим итогом

0

-1000

1

1

-100%

-999.1

-99.9%

2

1500

23%

23%

240.6

12.0%

3

1

23%

15%

241.3

8.0%

4

1

23%

11%

242.0

6.1%

5

1

23%

9%

242.6

4.9%

6

1

23%

7%

243.2

4.1%

7

1

23%

6%

243.7

3.5%

 

В этом сценарии 1500 д.е. выплачиваются в конце второго периода. Значение IRR уменьшается до 23%, но остается постоянным при увеличении срока. В четвертой колонке представлен расчет MIRR со ставкой финансирования и ставкой реинвестирования, равными нулю. Такой вариант MIRR соответствует IRR, если бы все выплаты осуществлялись в конце срока жизни проекта. В данном примере MIRR позволяет увидеть, как будет изменяться IRR проекта, если выплата 1500 д.е. будет смещаться во времени.
Конечно, точно такой же результат был бы и в случае реинвестирования промежуточных денежных потоков по ставке IRR. Но, как мы уже говорили, это всего лишь математическое совпадение для ситуаций с разными допущениями. Следует учесть, что 1500 д.е. уже окупили инвестицию. Следовательно, эти средства можно инвестировать в другие проекты. Инвестор вправе распоряжаться ими по своему усмотрению. Никакие корректировки здесь не требуются. Дело в том, что в конце первого периода инвестор уже получил деньги, заработав доходность 50%. Последующие периоды на эту заработанную доходность никак не влияют.
Таким образом, допущение о реинвестировании промежуточных денежных потоков, якобы присущее показателям NPV и IRR, не более чем миф, основанный на неверной трактовке математических уравнений. Математическое равенство двух ситуаций не означает их логической идентичности. Допущение о реинвестировании содержит совершенно иные допущения и сдвигает момент выплат на конец жизни проекта. Такая подмена понятий позволила некоторым исследователям утверждать, что IRR неправильно измеряет ставку доходности проекта, и предложить показатель MIRR в качестве якобы более точного показателя доходности. Однако это совершенно не согласуется со смыслом IRR. В MIRR предполагается, что все денежные выплаты осуществляются в конце срока жизни проекта и, соответственно, доходность измеряется за срок жизни проекта. При этом в формулировку MIRR закладывается сомнительное допущение о том, что промежуточные денежные потоки с момента времени t реинвестируются по специальной ставке реинвестирования до конца срока жизни проекта, а дисконтируются по ставке MIRR. Иными словами, делается допущение о том, что ставка дисконтирования для первоначальных и промежуточных денежных потоков одинакова. На самом деле это не так. Премия за риск для реинвестированных промежуточных денежных потоков может быть другой. Допущение MIRR легко увидеть, если записать формулировку в следующем виде:

 

    \[-\sum\limits_{t=0}^{n}{\frac{{{I}_{t}}}{{{\left( 1+{{r}_{t}} \right)}^{t}}}=}\sum\limits_{t=1}^{n}{\frac{C{{F}_{t}}\cdot {{\left( 1+d \right)}^{n-t}}}{{{\left( 1+MIRR \right)}^{t}}{{\left( 1+MIRR \right)}^{n-t}}}},\]

(5)

где d – ставка реинвестирования промежуточных денежных потоков. Расхождение между числителем и знаменателем в формуле (5) выделено полужирным шрифтом. Измерение доходности за весь срок жизни проекта имеет смысл. Однако такой показатель принципиально отличается от IRR по смыслу. Проблему определения ставки реинвестирования промежуточных денежных потоков, при которой будет правильно вычисляться ставка доходности за весь срок жизни проекта, мы рассмотрим в отдельной статье.

 

Применение IRR в ситуации, когда денежный поток неоднократно меняет знак
Рассмотрим теперь некоторые практические выводы из вышеизложенного. Прежде всего, мы установили, что показатели результативности инвестиционных проектов следует применять с учетом допущений и условий решаемых задач. Наиболее важное различие связано со следующими аспектами:
– являются ли проекты взаимоисключающими или они могут реализовываться одновременно, комбинироваться, или имеет место смешанная ситуация, когда некоторые проекты могут комбинироваться, а некоторые являются взаимоисключающими;
– используется допущение фиксированных инвестиционных возможностей, или допущение о том, что инвестиционные возможности заранее неизвестны и могут пересматриваться со временем.
Выбор конечных критериев отбора проектов зависит от того, какие из названных выше условий и допущений используются в анализе.
Большинство недостатков приписываемых IRR связаны с непониманием и неправильным употреблением этого показателя. Например, несколько значений IRR возникают лишь в том случае, когда в денежном потоке проекта знак платежей меняется более одного раза. Эта проблема связана исключительно с тем, что в литературе упрощенно допускается, что инвестиции в проект осуществляются одной суммой в начальном периоде. Однако в общем случае инвестиции могут быть распределены во времени. Проблема с несколькими значениями IRR легко устраняется, если денежные оттоки по проекту отделить от денежных притоков и привести к текущему моменту времени. Такая поправка вполне логична, поскольку доходность считается по отношению к величине инвестиций и отсчитывается от начального момента времени.
В некоторых случаях корнями уравнения IRR могут быть комплексные числа, которые не имеют осмысленной экономической интерпретации. Но опять же такая ситуация связана с неверной постановкой задачи, когда математическое описание не соответствует физическому смыслу.
Рассмотрим несколько практических ситуаций, с которыми нередко приходится сталкиваться финансовым аналитикам. Предположим, имеется денежный поток, представленный на рисунке 1.

TimeScale1

Рисунок 1. Временная шкала денежного потока с ликвидационными затратами в конце срока жизни проекта

 

Наряду с первоначальный инвестиционным денежным оттоком в нулевой момент времени, на временной шкале имеется также денежный отток в конце 5 года. Такие проекты не редкость. Они довольно часто встречаются на практике. В конце срока жизни проекта могут возникать затраты, связанные с прекращением эксплуатации промышленных объектов (например, закрытие нефтяной скважины, демонтаж инженерных конструкций, демонтаж зданий), затраты, связанные с восстановлением окружающей среды (например, восстановление морского дна, восстановление месторождений, восстановление ландшафта, мелиорация или рекультивация земель, рекультивацию карьеров, захоронение опасных отходов), затраты на расчистку территории (clean-up activities), затраты, связанные с содержанием объектов после прекращения эксплуатации (post-closure care and maintenance).
В представленном численном примере мы сознательно используем небольшую величину первоначального инвестиционного денежного оттока, чтобы подчеркнуть влияние на IRR денежного оттока в конце срока жизни проекта. Т.е. мы предполагаем, что инвестиции смещены на конец срока жизни проекта, а не на начало. IRR денежного потока с 0 по 5 годы составляет около 700%. Если выполнить расчет IRR за усеченный период с 0 по 4 годы включительно, то результат снова будет равен приблизительно 700%. Значит ли это, что конечный денежный отток в $500 не оказывает почти никакого влияния на доходность денежных потоков проекта? Конечно же, оказывает. Проблема в том, что конструкция IRR не рассчитана на применение к денежным потокам, в которых промежуточные или конечные денежные платежи оказываются отрицательными. IRR правильно работает только в том случае, когда вначале имеется один денежный отток, а все последующие платежи являются положительными. Если это не так, то IRR будет выдавать неверный результат.
Указанный недостаток можно устранить, но для этого требуется преобразовать денежный поток. Для этого отрицательные платежи нужно переместить к нулевому моменту времени t0. Чтобы это сделать, к ним нужно применить соответствующую ставку дисконтирования. После этого IRR можно использовать как обычно к преобразованному денежному потоку. Здесь следует учитывать, что денежные оттоки в течение срока жизни проекта или по окончании срока жизни проекта могут иметь собственный риск. Подробно об этом писали Эрхардт и Дейвс (2000). Дело в том, что источники риска отрицательных денежных потоков, в особенности инвестиционных, отличается от источников риска текущих денежных потоков от основной деятельности. Риски инвестиционных денежных оттоков могут быть связаны с превышением сроков и бюджетов проектов строительства, срывами поставок сырья, стройматериалов, нарушением обязательств подрядчиками, неблагоприятными погодными условиями, изменением цен на оборудование, ошибками в проектировании, недостатками технологии и неправильным выбором оборудования, отсутствием опыта работы с технологией или новизной и «необкатанностью» технологии. Риски инвестиционных денежных оттоков и риски затрат по ликвидации активов отличаются от рисков основной деятельности. Поэтому к ним лучше применять особую ставку дисконтирования. Премия за риск к инвестиционным и ликвидационным денежным оттокам может быть даже отрицательной. Главная сложность в том, что рассчитать на практике адекватную ставку дисконтирования к таким денежным потокам достаточно сложно. Но мы здесь не будет затрагивать этот вопрос, поскольку он требует отдельного и долгого разговора.
Допустим, что мы можем определить подходящую ставку дисконтирования для денежного оттока в конце пятого года: по нашим оценкам она равна 10%. Тогда текущая стоимость конечного денежного оттока (FCO), равного —$500 , на начальный момент времени будет равна

    \[FCO=\frac{-500}{\left( 1+0.1 \right)}=-310.5.\]

Тогда, преобразованный денежный поток будет иметь вид, представленный на рисунке 2. Корректируется денежный отток на начальный момент времени. К первоначальному денежному оттоку в 50 добавляется текущая стоимость конечного денежного оттока, равная310.5.

TimeScale2

Рисунок 2. Временная шкала преобразованного денежного потока с ликвидационными затратами, перенесенными на начальный момент времени

 

IRR преобразованного денежного потока равен примерно 90%. Это намного меньше 700% для исходного денежного потока с отрицательной выплатой в конце срока жизни. Ставка доходности IRR, равная 90% будет правильной оценкой доходности денежных потоков проекта на моменты их выплат, при условии, что оценка текущей стоимости конечного денежного потока верна. Т.е. точность расчета IRR в данном случае зависит от точности оценки ставки дисконтирования для отрицательных денежных потоков. Конечно, на практике нет уверенности в точности таких оценок. Но в любом случае расчет будет более корректным, в сравнении с первоначальной оценкой доходности в 700%. Некоторая неточность в оценке ставки дисконтирования и преобразованного денежного потока намного лучше, чем заведомо неправильный расчет на основе исходного денежного потока с отрицательными выплатами, для которого IRR просто не предназначен.
Скорректированную формулу IRR, учитывающую ситуации с отрицательными денежными выплатами в течение срока жизни проекта, можно представить следующим образом:

 

    \[-{{I}_{0}}-\sum\limits_{t=1}^{n}{\frac{{{I}_{t}}}{{{\left( 1+{{\rho }_{t}} \right)}^{t}}}=}\frac{\sum\limits_{t=1}^{n}{C{{F}_{t}}}}{{{\left( 1+IRR \right)}^{n}}},\]

(13)

где I0 – первоначальный инвестиционный денежный отток;
It – денежные оттоки в течение срока жизни проекта в момент времени t;
{{\rho }_{t}} – подходящая ставка дисконтирования для денежных оттоков проекта в момент времени t (для каждого денежного оттока может быть своя ставка дисконтирования).
Таким образом, требует четко провести различие между инвестиционными денежными оттоками, текущими денежными оттоками и текущими денежными притоками проекта. В случае если инвестиции и денежные оттоки классифицированы неправильно (например, денежные оттоки зачтены против денежных притоков), возможны искажения в расчете IRR. Это искажение присуще всем показателям, в которых рассчитывает отношение выгод проекта к величине инвестиций.
Еще одна ситуация, которая может вызвать затруднения – расчет эффективной ставки процента по займу. Представим, что некто получает 1000 по кредиту и выплачивает1200 в конце четвертого квартала, либо выплачивает 50 каждый квартал и1000 в конце четвертого квартала. Нужно определить, какая схема погашения долга выгоднее. Эффективная ставка процента (IRR) для первого варианта равна примерно 4.664%, а для второго варианта примерно 5% в квартал. Если перевести эти числа к годовому выражению, то получится, что доходность первого варианта 20%, а второго варианта примерно 21.55%. Связь между периодической и годовой эффективной процентными ставками рассчитывается по следующей формуле:

    \[p={{(1+r)}^{\frac{1}{n}}}-1,\]

(14)

где p – периодическая (месячная, квартальная) эффективная ставка процента;
r – годовая эффективная ставка процента;
n – количество периодов наращения в течение года.
Соответственно годовая эффективная процентная ставка может быть рассчитана на основе периодической эффективной процентной ставки следующим образом:

    \[r={{(1+p)}^{n}}-1.\]

(15)

В обоих случаях к концу четвертого квартала заемщик выплачивает в общей сложности $1200. Однако первый вариант оказывается предпочтительнее с позиций меньшей эффективной ставки процента, поскольку заемщик откладывает выплаты до конца четвертого квартала. Во втором варианте заемщик начинает выплачивать долг уже с первого квартала. Соответственно, у него возникают издержки упущенных возможностей. Если выплаты долга осуществляются раньше, заемщик утрачивает возможность инвестировать средства, привлеченные по займу на более долгий срок, либо потреблять товары, приобретенные взаймы, либо просто использовать по своему усмотрению имеющиеся деньги, которые теперь приходится расходовать на выплату долга. Логика тут очень простая. Но в расчете эффективной процентной ставки логика оказывается более сложной и часто приводит к непониманию. Прежде всего, следует заметить, что расчет IRR никак не связан с издержками упущенных возможностей. Их нет в математике формулы.
Если считать, что IRR содержит имплицитное допущение о реинвестировании денежных потоков, то можно утверждать, что IRR будет начислять издержки упущенных возможностей по ставке, равной IRR. Но, как мы уже говорили, сама конструкция формулы IRR не принимает во внимание издержки упущенных возможностей, временную стоимость денег, премию за риск и т.п. Если выбор между вариантами нужно сделать, основываясь на разнице в издержках упущенных возможностей, то тогда следует ввести их в расчет и посчитать NPV каждого из вариантов, а не эффективную ставку процента.
IRR содержит лишь допущение о том, что промежуточные денежные потоки будут дисконтироваться и реинвестироваться по ставке процента, которая обеспечивает нулевой NPV реинвестиций. Ставка дисконтирования может быть любой. Ситуация можно изобразить с помощью следующей формулы:

    \[CF_{0}^{+}=-\sum\limits_{t=1}^{n}{\frac{CF_{t}^{-}\cdot {{\left( 1+\phi \right)}^{n-t}}}{{{\left( 1+IRR \right)}^{t}}{{\left( 1+\phi \right)}^{n-t}}}},\]

(16)

где CF_{0}^{+}– первоначальные денежные поступления по займу;
CF_{t}^{-} – выплаты проценты и основной суммы долга;
\phi – ставка реинвестирования для промежуточных денежных потоков.

 

Применение IRR для сравнения условий кредитования

Предположим, некто берет двухмесячный заем на сумму 10000 по простой ставке 20%. Это означает, что по окончании двухмесячного периода он должен выплатить$12000$. Простая ставка процента интуитивно понятна для восприятия. Эффективная ставка процента для восприятия сложнее, поскольку представляет собой искусственную конструкцию. В представленной выше ситуации месячная эффективная ставка процента (месячная IRR) равна 9.54%. Если ее перевести в годовой эквивалент (годовую IRR), то получится ставка, равная 198.6%. В основном эффективная ставка процента используется для сравнения цен кредитов с различными сроками погашения и графиками платежей. Поэтому доходность кредитов приводят к одному периоду времени – дню, неделе, месяцу, кварталу или году. Не предполагается, что доходность за год в действительности будет равна 198.6%, ведь заем выдан всего на 2 месяца. Месячная доходность действительно будет равна 9.54%. Но при расчете годовой ставки процента всего лишь делается допущение о том, какой была бы доходность кредита, если бы заем действовал в течение годового периода времени. Т.е. условия выплаты двухмесячного кредита экстраполируются на год, чтобы получить возможность сравнивать кредиты с разными сроками. Эту ситуацию можно интерпретировать с позиций допущения о реинвестировании промежуточных денежных потоков. Но такое допущение не является обязательным. Изначально известно, что кредит не будет действовать в течение года.
Хотя в представленном примере заемщик платит только 20% за два месяца, цена кредита оказывается достаточно велика и в пересчете на год составляет 198.6%. Т.е. если бы заемщик брал кредит на подобных условиях на год, он заплатил бы 198.6%. Если банк регулярно выдает кредиты на таких условиях, то он в действительности может заработать за год 198.6%. Или, если предположить, что заемщик не погашает долг во время, то в итоге через год он должен будет выплатить не только основную сумму долга, но и проценты в размере 198.6%. В этих ситуациях действительно будет иметь место реинвестирование промежуточных денежных потоков. Но оно является лишь гипотетическим и применяется лишь для целей сравнения кредитов с разными сроками погашения.
Как мы уже говорили ранее, IRR измеряет доходность в расчете на некоторую единицу времени по моментам выплат, а не за весь срок жизни проекта или кредита. Реинвестиции промежуточных денежных потоков, хотя и возможны, но не обязательны. Допустим, денежный поток состоит из трех выплат: -1000, 900 и 800, которые имеют место в периодах 0, 2 и 5 соответственно. IRR для этого денежного потока считает эффективную ставку доходности для денежного потока так, что для выплаты 900 д.е. доходность считается по 2 год включительно, а для выплаты 800 д.е. доходность считается по 5 год включительно. В итоге выводится агрегированная доходность для всего денежного потока в расчете на один год. Она будет равна 17,8%. Типичная ошибка заключается в том, что IRR пытаются интерпретировать в качестве доходности для всех пяти лет. Если посмотреть на развернутую формулу IRR (4), то из нее хорошо видно, что на самом деле доходность считается исключительно до момента t каждого поступления денежных средств в составе денежного потока. Это позволяет оценить истинную доходность для денежного потока с распределенными во времени выплатами.

 

Чувствительность NPV и IRR к изменению периода расчета

NPV и IRR очень чувствительны к выбору периода расчета. При разработке проектов точные даты поступления денежных средств обычно неизвестны. Поэтому используются допущения относительно времени поступления денежных средств. Денежные потоки могут прогнозироваться по годам, по полугодиям, по кварталам, по месяцам. При этом используется допущение о том, что денежные средства в течение выбранного периода расчета поступают в конце периода, в начале периода, либо в середине периода. Чаще всего применяются допущения о поступлении денежных средств на конец периода или на середину периода. Аналитики иногда пользуются этим, чтобы завысить показатели проекта. Например, они могут использовать в расчете денежные потоки по месяцам, вместо денежных потоков по кварталам, что может повысить NPV проекта. Особенно чувствительна к изменению периода расчета IRR.
Рассмотрим простой пример. Предположим, что проект состоит из инвестиции -1000 руб. и месячных поступлений 150 руб. в течение года, годовая ставка дисконтирования равная 10% (или 0,83% в месячном эквиваленте). Допустим, денежные средства поступают в конце периода. NPV проекта будет равно 710 руб., а годовая IRR – 229.5% (или 10.4% в месячном эквиваленте). Теперь изменим период расчета. Предположим, что денежный поток за год поступает единой суммой в конце года, равной 1800 руб. (150 руб. на 12 месяцев). NPV теперь будет равна 636.4 руб., а годовой IRR – 80%. При увеличении периода расчета IRR уменьшился почти в 3 раза! Но в этом нет ничего удивительного. Чем раньше начинают поступать денежные средства, тем выгоднее проект. Поступления по месяцам в течение года намного выгоднее, чем поступление одной суммой в конце года. IRR всего лишь учитывает моменты поступлений. Делает она это правильно. Поступление 150 руб. через 1 месяц и через 1 год предполагают разную годовую доходность. Но при оценке проекта может быть высокая погрешность из-за неточности данных и использования допущений о моменте выплаты денежных средств. Поскольку в прогнозе данные всегда приблизительные, IRR использовать с особой осторожностью. Не следует сравнивать по NPV и особенно по IRR проекты с различными допущениями относительно периода расчета.

 

Заключение

В данной статье основное внимание было уделено допущению о реинвестировании промежуточных денежных потоков. Доказано, что данное допущение является заблуждением, вызванным путаницей в интерпретации показателей NPV и IRR. Допущение о реинвестировании промежуточных денежных потоков нередко приводится в качестве объяснения конфликта между критериями NPV и IRR при ранжировании инвестиционных проектов. Суть данного конфликта состоит в том, что показатели NPV и IRR по-разному упорядочивают инвестиционные проекты по степени предпочтения. В свою очередь конфликт между критериями NPV и IRR часто приводится в качестве аргумента в пользу утверждения о существовании допущения о реинвестировании промежуточных денежных потоков. Аргумент этот довольно слабый, поскольку содержит логический круг. Сначала допущение о реинвестировании называется причиной конфликта между критериями NPV и IRR, а затем конфликт между критериями приводится в качестве обоснования допущения о реинвестировании. Тем не менее, возникает вопрос: если критерии NPV и IRR не содержат допущения о реинвестировании промежуточных денежных потоков, почему они не согласуются в ранжировании инвестиционных проектов? Данный вопрос мы рассмотрим в следующей статье.

 

Литература

Brigham, Eugene F., Michael C. Ehrhardt. 2010. “Financial Management Theory and Practice,” Mason: South-Western Cengage Learning. 1152 p.
Ehrhardt, Michael C., Phillip R. Daves. 2000. “Capital Budgeting: The Valuation of Unusual, Irregular, or Extraordinary Cash Flows,” Financial Practice & Education, Vol. 10, Issue 2. pp. 106-114.
Forbes, Shawn M., John J. Hatem, and Chris Paul. 2008. “Yield-to-Maturity and the Reinvestment of Coupon Payments,” Journal of Economics and Finance Education, Vol. 7, No. 1. pp. 48-51.
Keown, Arthur, John Martin, William Petty and David Scott. 2004. “Financial Management Principles and Applications,” 9th ed. Upper Saddle River: Prentice Hall. 880 p.
Kierulff, Herbert. 2008. “MIRR: A Better Measure,” Business Horizons, Vol. 51. pp. 321-329.
Magni C.A. 2010. Average Internal Rate of Return and Investment Decisions: a New Perspective, The Engineering Economist, 55(2), 150-181.
Solomon, Ezra. 1956. “The Arithmetic of Capital-Budgeting Decisions,” Journal of Business, Vol. 29. No. 2. pp. 124-129.
Walker, John S., Henry F. Check, Jr., Karen L. Randall. 2011. “Does the Internal Rate of Return Calculation Require a Reinvestment Rate Assumption? – There Is Still No Consensus,” West Chester University: Pennsylvania Economic Association Proceedings Annual Conference, June 3–5, 2010. pp. 118-130.
Черемушкин С.В. Логическое и математическое доказательство ошибочности представления об имплицитном допущении о реинвестировании промежуточных денежных потоков в формуле дисконтирования денежных потоков и внутренней ставки доходности // Аудит и финансовый анализ, 2012, № 3. С. 366-376.

1 комментарий

Оставить комментарий
  1. Спасибо огромное за методику расчета IRR для потоков с разными знаками!
    Все просто и логично.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Сергей Черемушкин © 2014 Frontier Theme