Исследование причин конфликтов между показателями результативности инвестиционных проектов

Investigation of conflicts between performance measures for ranking investment projects

С.В. Черемушкин,
к.э.н.

SergeiV. Cheremushkin,
Ph. D.

e-mail: cheremushkinsergei@gmail.com
Сайт: http://www.sergei-cheremushkin.ru/

Аннотация: В статье рассматривается применение различных показателей для ранжирования взаимоисключающих инвестиционных проектов с различными масштабами инвестиций, сроками жизни и рисками. Объясняются причины расхождения между показателями при ранжировании проектов. Показано, что критерий NPV, рекомендуемый в академической литературе в качестве основного, не является единственно верным, поскольку рассчитан на применение в некоторых идеальных условиях, не соблюдающихся в реальности. Разъясняются условия применения показателя eIRR для отбора инвестиционных проектов. В статье также приводится пример решения задачи выбора инвестиционных проектов, часть из которых является взаимоисключающими, а часть комбинируемыми.

Abstract: The paper revisits the problem of performance measures for ranking mutually exclusive projects with different sizes of investment, lifetimes and risks. The paper explains why rankings by different performance measures do not coincide. We show that NPV criterion is not the only true, since it assumes ideal conditions that do not hold in reality. The paper reveals constraints of using eIRR performance measure in capital budgeting. We also discuss the problem of choice among both mutually exclusive and combinable investment projects at the same time.

Ключевые слова: NPV, IRR, MNPV, MIRR, PI, BCR, допущение о реинвестировании, инвестиционный проект, измерение результативности, капитальное бюджетирование

Key words: NPV, IRR, MNPV, MIRR, PI, BCR, reinvestment assumption, investment project, performance measurement, capital budgeting

 

Введение
В предыдущей статье (Черемушкин С.В. Условия применения и ограничения показателей результативности инвестиционных проектов // Финансовый менеджмент, 2013, № 4. С. 36 -52) мы рассмотрели некоторые допущения, заложенные в показатели результативности инвестиционных проектов. Были приведены доказательства ошибочности утверждения о существовании допущения о реинвестировании промежуточных денежных потоков в отношении критериев NPV и IRR. В данной работе будут рассмотрены допущения, связанные с отбором различных инвестиционных проектов, различающихся по некоторым характеристикам: величине инвестиционных затрат, сроку жизни, рискам, возможности комбинирования проектов. Ранжирование проектов с использованием различных показателей не совпадает. Это вызвано тем, что разные показатели содержат различные допущения. В литературе в качестве основного критерия рекомендуется применять NPV. Но NPV не учитывает различий в сроке жизни и величине инвестиционных затрат проекта, не принимает во внимание бюджетные ограничения, жизненный цикл проекта. Поэтому на практике наряду с NPV применяются также дополнительные критерии, такие как PI, EAA, срок окупаемости. В данной статье мы рассмотрим причины конфликтов между показателями в ранжировании инвестиционных проектов и обсудим ограничения и условия применения каждого из показателей.

 

Конфликт между критериями NPV и IRR
Допущение о реинвестировании было сформулировано в контексте конфликта между критериями NPV и IRR при ранжировании инвестиционных проектов. Стоит подробнее рассмотреть суть этого конфликта и понять, почему он происходит. Сам конфликт можно описать всего в двух словах: ранжирование нескольких инвестиционных проектов по IRR и NPV не всегда совпадает. Один из таких случаев представлен в таблице 1. Второй проект имеет больший NPV, но меньший IRR.

 

Таблица 1. Пример конфликта между критериями IRR и NPV

Проекты Проект 1 Проект 2
Ставка дисконтирования

10%

15%

0

-1000.0

-5000.0

1

300.0

2000.0

2

500.0

2200.0

3

700.0

2420.0

4

900.0

2662.0

5

1100.0

2928.2

NPV

1509.60

2971.68

IRR

47%

36%

 

Исследователи приводят разнообразные объяснения, почему IRR оказывается несопоставимым с NPV (Осборн, 2005, 2010; Дорфман, 1981), но в большинстве учебников и профессиональных работ отмечается, что конфликт критериев IRR и NPV связан с тем, что формула IRR содержит имплицитное допущение о том, что денежные поступления в течение всего срока жизни проекта реинвестируются по ставке, равной IRR, тогда как формула NPV содержит имплицитное допущение о том, что денежные поступления реинвестируются по ставке дисконтирования денежных потоков (требуемой норме доходности или WACC) . Имеется целый ряд работ (Велез-Пареха, 2000; Магни, 2010; Пресакко, Магни и Стуччи, 2011; Альтшулер и Магни, 2012), в которых предпринимаются попытки исправить недостатки IRR, вывести модифицированный показатель IRR, который будет выдавать такое же ранжирование проектов, что и NPV.
В частности, Магни (2010) отвергает показатель IRR для измерения доходности и предлагает собственный показатель, в котором доходность рассчитывается не на основе денежных потоков, а как среднее арифметическое однопериодных ставок доходности, взвешенных по промежуточным значениям инвестированного капитала. Магни утверждает, что такой показатель (AIRR) является корректной ставкой экономической доходности, согласующейся с NPV.
Мы не утверждаем, что показатель AIRR, предлагаемый Магни (2010), неверен. Очевидно, что он основывается на иных допущениях, нежели IRR. Метод Магни основывается на искусственном разбиении многопериодного проекта на серию однопериодных проектов. Если AIRR обеспечивает такое же ранжирование проектов, как и NPV, то очевидно, основные допущения AIRR в отношении характеристик проектов соответствуют допущениям NPV. Но это не значит, что NPV и AIRR правильно ранжируют проекты, а IRR и его производные (в частности, спред IRR – ставка затрат на капитал) неправильно. Ранжирование проектов также основывается на некоторых допущениях. Допущения, заложенные в NPV, не являются единственно верными.
Возникает вопрос: зачем выводить новый показатель, который будет повторять уже имеющийся? Если NPV обеспечивает правильное ранжирование проектов, то зачем нужно вносить «исправления» в IRR? Почему бы просто не использовать для цели ранжирования проектов NPV и отказаться от использования IRR? И у NPV, и у IRR имеются свои достоинства и недостатки (Белкович и Израэль, 2004). А значит, при выводе нового показателя нужно позаботиться в первую очередь о том, чтобы устранить недостатки NPV и добавить достоинства IRR. Однако из этого не следует, что усовершенствованный показатель будет дублировать NPV при ранжировании проектов. Нужно понять причины несоответствий между показателями при ранжировании проектов. Поняв причины, можно будет принимать более обоснованные решения.
В литературе часто указывается, что NPV применяется в качестве критерия принятия решений по независимым проектам , либо для отбора взаимоисключающих инвестиционных проектов (Бригхэм и Эрхардт, 2010), хотя разъяснению этих допущений обычно не уделяется достаточно внимания. Уже при наличии бюджетного ограничения инвестиционные проекты перестают быть независимыми, поскольку аналитику из имеющихся проектов необходимо составить портфель в пределах бюджетного ограничения. Проблема в том, что на практике NPV часто применяют для всех ситуаций без исключения, игнорируя заложенные в него допущения. Между тем, ситуации, в которых приходится иметь дело с взаимосвязанными или комбинируемыми проектами в условиях бюджетного ограничения, не редкость. В таких случаях требуется решать оптимизационную задачу. Принятие решений, основываясь на правиле NPV, может привести к неоптимальным решениям.
При отборе инвестиционных проектов смотрят на абсолютную величину добавленной стоимости проектов, независимо от масштаба инвестиций и срока жизни проектов. В критерии NPV заложено допущение, что будущие инвестиционные возможности являются заранее известными и фиксированными. Это означает, что все инвестиционные альтернативы, как текущие, так и будущие, учтены в ставке дисконтирования. Напомним, что ставка дисконтирования отражает издержки упущенных возможностей, компенсацию за риски и инфляцию. Поэтому при отборе проектов в соответствии с допущениями, содержащимися в NPV, аналитиков интересует только то, чтобы доходы проекта превышали затраты на капитал (Capital Charge). При этом проект с меньшей годовой доходностью может быть предпочтительнее проекта с большей годовой доходностью, если он имеет больший срок жизни. Проект с большим масштабом инвестиций может быть предпочтительнее проекта с меньшим масштабом инвестиций, поскольку первый имеет большую абсолютную величину добавленной стоимости. Заметим также, что при отборе взаимоисключающих проектов выбирается только один проект из всего множества. Комбинации проектов, которые могли бы осуществляться одновременно, не рассматриваются. Таковы допущения, заложенные в NPV-анализе.
Указанные выше допущения являются слишком ограничивающими. На практике нередко приходится распределять бюджет между несколькими проектами с различными масштабами инвестиций, которые могут реализовываться одновременно. Иными словами, часто возникает задача отбора проектов, которые не являются взаимоисключающими. И в таком случае NPV перестает быть конечным критерием финансовой результативности проектов. Вернее говоря, в ситуации, когда проекты не являются взаимоисключающими, когда требуется распределить инвестиционный бюджет между несколькими проектами, выбрать наилучшую комбинацию из всех возможных проектов, требуется рассмотреть все возможные комбинации, удовлетворяющие бюджетным ограничениям, и смотреть не на NPV отдельных проектов, а на NPV комбинаций. На практике часто приходится решать смешанную задачу, когда некоторые проекты являются взаимоисключающими, а некоторые могут быть скомбинированы. При отборе проектов на основании NPV различия в масштабе проектов не принимаются во внимание. Для взаимоисключающих проектов это справедливо. Для проектов, которые не являются взаимоисключающими, и тем более, при наличии бюджетных ограничений, нужно решать оптимизационную задачу, перебирая различные возможные комбинации проектов.
Следующий немаловажный аспект – различия в сроке жизни проектов. Они имеют принципиальное значение, если будущие инвестиционные возможности заранее неизвестны, неопределенны. Допущение о заранее известных и неизменных инвестиционных возможностях, заложенное в NPV, является упрощением реальности, облегчающим жизнь аналитику. Это упрощение позволяет разработать простые модели принятия решений для несуществующего идеального мира. Но это не значит, что такие решения будут наилучшими для реального мира с изменяющимися инвестиционными возможностями.
Можно представить два проекта, NPV первого равен 1000 д.е., а NPV второго равен 500 д.е. Значит ли это, что следует выбрать первый проект, как это рекомендуется в учебниках по финансам? А что если, срок реализации первого проекта составляет 10 лет, а второго проекта – всего 1 год? Полагаю, многие инвесторы теперь предпочтут выбрать второй проект. Просто потому, что после реализации второго проекта в течение оставшихся 9 лет могут встретиться еще проекты с положительной NPV.
Не удивительно, что до сих пор в принятии инвестиционных решений остается популярным такой показатель, как срок окупаемости. Окупаемость инвестиций – это время, в течение которого инвестор получает обратно вложенную в проект сумму. Полученные средства он может снова направить на инвестиции. Интересной может быть также возможность досрочного прекращения проекта. Например, если по прошествии времени обнаружится, что имеются более интересные проекты, реализуемый проект можно будет свернуть и инвестировать средства в другие проекты. Если проект уже окупился, при досрочном прекращении проекта инвестор не понесет потерь.
Срок окупаемости применяется хотя бы потому, что достоверность прогнозов денежных потоков зависит от длины горизонта прогнозирования. Очевидно, что в прогнозе на три года можно быть более уверенным, чем в прогнозе на десять лет. Через десять лет может очень многое измениться. Точность оценок долгосрочных проектов вызывает больше сомнений в сравнении с оценками краткосрочных проектов. Поэтому инвесторы обычно отдают предпочтение проектам с короткими сроками окупаемости. Очевидно, срок окупаемости проекта следует рассматривать в контексте ожидаемого срока жизни продукта и жизненного цикла технологий. Понятно, например, что проекты разработки новых месторождений нефти и газа могут иметь большой срок окупаемости, поскольку люди еще долго будут нуждаться в энергоресурсах. Новые технологически сложные продукты (например, мобильные телефоны) имеют короткий срок жизни и срок окупаемости не должен выходить за его пределы. Срок окупаемости служит также важным ориентиром при принятии типовых проектов.
Традиционный анализ исходит из предположения, что в равновесной экономике большинство проектов имеют нулевой NPV и лишь очень редкие проекты имеют положительную NPV. Поэтому любой проект с положительной NPV, независимо от срока жизни и величины инвестиций, следует принять. Однако в реальности в условиях неопределенности проекты с положительной NPV встречаются довольно часто. Тогда будет неразумно «связываться» с длительным проектом, поскольку имеется возможность осуществлять серию последовательных проектов с положительной NPV.
При изменяющихся инвестиционных возможностях разумно при принятии инвестиционных решений смотреть не на абсолютную величину добавленной стоимости проектов, а на добавленную стоимость за единицу времени. Инвесторы могут предпочесть проекты с более коротким сроком жизни, которые имеют большую добавленную стоимость в расчете на год, проектам с более продолжительным сроком жизни, но меньшей добавленной стоимостью в расчете на год. Иными словами имеет значение величина годовой добавленной стоимости (Value Added Per Year) проекта, а не абсолютная величина добавленной стоимости за весь срок жизни проекта, которая может быть больше для проектов с большим сроком жизни. Почему инвесторы предпочтут проекты с меньшим сроком жизни, но большей годовой добавленной стоимостью? Потому что они могут надеяться, что в будущем им представятся новые выгодные инвестиционные возможности. Поскольку инвестиционные возможности не известны заранее, отказываясь от проектов с продолжительным сроком жизни и меньшей годовой добавленной стоимостью в пользу проектов с меньшим сроком жизни, но больше годовой добавленной стоимостью, инвесторы получают реальный опцион на реинвестирование по окончании жизни проектов на более выгодных условиях. Если инвестиции осуществляются в долгосрочные проекты, то инвесторы связывают себя на весь срок жизни этих проектов и отказываются от реального опциона на реинвестирование. Напомним, что стоимость реальных опционов зависит от неопределенности. Чем выше неопределенность, тем при прочих равных условиях выше будет стоимость опциона. Поэтому неудивительно, что на практике многие инвесторы и руководители уделяют большое внимание сроку окупаемости проектов, предпочитая проекты с меньшим сроком окупаемости.
Стоимость этого реального опциона для разных инвестиционных проектов будет зависеть от временной структуры платежей. Стоимость реального опциона проекта будет выше, если большие выплаты начинают поступать раньше. К примеру, на рисунке 1 представлены два проекта с одинаковыми суммарными текущими стоимостями денежных потоков за весь срок жизни проекта, но разными временными структурами платежей. Второй проект будет иметь более высокую стоимость реального опциона на реинвестирование промежуточных денежных потоков, поскольку более крупные платежи поступают раньше, чем в первом проекте.

 ProjectsComparison1Рисунок 1. Сравнение двух проектов с разными временными структурами денежных потоков

Следует, однако, заметить, что оценка стоимости реального опциона на повторное инвестирование по окончании срока жизни проекта затрудняется отсутствием точных исходных данных о вероятностном распределении изменяющихся будущих инвестиционных возможностей. Хотя количественная оценка стоимости указанных реальных опционов могла бы быть важным уточнением методологии анализа инвестиционных проектов, приходится признать, что на практике ее довольно сложно выполнить. Как бы то ни было, и без количественной оценки понятно, что проекты с большей годовой добавленной стоимостью оказываются более предпочтительными, чем проекты с меньшей годовой добавленной стоимостью. Соответственно, для отбора проектов в условиях изменяющихся инвестиционных возможностей требуется использовать не абсолютную величину добавленной стоимости проектов, а величину добавленной стоимости в расчете на единицу времени. Это дает возможность аналитикам и руководителям принимать во внимание наличие указанных выше реальных опционов и решать, стоит ли отдавать предпочтения проектам с короткими сроками жизни, но большими годовыми добавленными стоимостями, или проектам с более продолжительными сроками жизни, но большими абсолютными значениями добавленной стоимости.
В ситуации, когда проекты, не являются взаимоисключающими, а инвестиционные возможности являются неопределенными, требуется принимать во внимание и абсолютную величину добавленной стоимости проектов, и различия в масштабе инвестиций, и различия в сроках жизни проектов. Т.е. требуется относительный показатель, в котором добавленная стоимость проектов соотносится с масштабом инвестиций и со сроком жизни проекта. Тогда в первую очередь будет отдаваться предпочтение проектам с большей добавленной стоимостью в расчете на рубль инвестиций за единицу времени, или, что то же самое, избыточную доходность за единицу времени (Excess Return Per Period). Следует заметить, что хедж-фонды и иные финансовые организации, которые занимаются портфельными инвестициями, ориентируются в первую очередь на ожидаемую избыточную доходность за единицу времени, а не на абсолютную величину добавленной стоимости инвестиций на протяжении всего срока их жизни. Они прекрасно понимают, что инвестиционные возможности изменяются во времени, и что у них имеется инвестиционный бюджет, который можно выгодно распределить между большим количеством активов, сформировав портфель из наилучшей комбинации активов. При этом принимается во внимание эффект диверсификации, связанный с тем, что денежные потоки разных активов ведут себя независимо, и падение доходов одного актива будет компенсироваться ростом доходов по другому активу.

 

Показатели, позволяющие сравнивать проекты с разными масштабами инвестиций и сроками жизни
Для сравнения проектов с разными масштабами инвестиций применяется показатель PI, рассчитываемый как отношение NPVк величине инвестиций. Но он не позволяет сравнивать между собой проекты с различными сроками жизни. Чтобы учесть различия в сроке жизни проектов можно просто разделить NPV на срок жизни проекта. Назовем такой показатель aNPV:

 

    \[aNPV=\frac{NPV}{{{S}_{I}}},\]

(1)

где {{S}_{I}} – масштаб инвестиций проекта.
Чтобы учесть различия проектов по масштабу инвестиций и срокам жизни, нужен показатель, который будет показывать добавленную стоимость на рубль инвестиций и на единицу времени. Назовем такой показатель rNPV (т.е. относительный NPV):

    \[rNPV=\frac{NPV}{{{S}_{I}}\cdot L},\]

(2)

где {{S}_{I}} – масштаб инвестиций проекта;
L – срок жизни проекта.
Удобство rNPV в сравнении со спредом «IRR – ставка затрат на капитал проекта» очевидно: издержки упущенных возможностей, риски проекта и инфляция уже учтены в расчете NPV. Следовательно, rNPV можно применять для любых денежных потоков, даже когда ставка дисконтирования изменяется во времени.
Еще одно похожее по назначению преобразование NPV, встречающееся в финансовой литературе, – эквивалентный годовой аннуитет (EAA):

    \[EAA=\frac{r\cdot NPV}{1-{{(1+r)}^{-L}}},\]

(3)

где r – ставка дисконтирования;
L – срок жизни проекта.
EAA – это равномерный денежный поток на протяжении срока жизни проекта, текущая стоимость которого равна NPV. Цель такого преобразования не только в том, чтобы привести неравномерный денежный поток к равномерному эквиваленту, но и получить возможность сравнивать проекты различной продолжительности. Недостаток этого показателя в том, что он не учитывает риски. Аннуитеты могут иметь различные риски, поэтому их нельзя сравнивать. Но этот недостаток легко устранить. Поскольку риски учитываются в расчетеNPV, для его преобразования в безрисковый эквивалентный годовой аннуитет в формуле EAA в качестве ставки r следует использовать безрисковую ставку процента (дисконтирования). Тогда можно будет сравнивать проекты с различными рисками. Такой EAA можно рассматривать как эквивалентный безрисковый денежный поток (Certainty Equivalent Annualized Annuity Cash Flow).
Ранжирование по EAAи по rNPV отличаются для проектов с одинаковыми сроками жизни, но различным масштабом инвестиций, поскольку EAA не учитывает различия в масштабе инвестиций. Этот недостаток EAA легко устранить, если использовать отношение EAA к величине инвестиций. Такой показатель можно назвать годовой эквивалентной аннуитетной доходностью EAAR. При одинаковых сроках жизни проектовEAAR и rNPV обеспечивают одинаковое ранжирование проектов. Однако ранжирование проектов с разными сроками жизни по rNPV и EAAR не совпадает. Причины мы рассмотрим позднее.
Для сравнения проектов с разными масштабами инвестиций и сроками жизни часто применяют IRR. Однако IRR для этой цели не вполне подходит. IRR не учитывает инфляцию, временную стоимость денег и риски денежных потоков. IRR также имеет ряд технических ограничений (Мартин, 1995; Фалиппу, 2008).
IRR – это относительный показатель, который измеряет эффективную ставку доходности по моментам поступления денежных потоков. Ставка доходности – это отношение полученных выгод или потерь к величине инвестиций. Показатель легко интерпретировать в рамках однопериодной инвестиции. В случае многопериодных денежных потоков IRR выдает агрегированную оценку доходности с учетом времени поступлений денежных притоков.
Но конструкция IRR изначально проектировалась совсем не для отбора инвестиционных проектов. Это отчетливо видно из математики расчета IRR. Поскольку IRR не учитывает различия в риске инвестиционных проектов, он не может обеспечить правильное ранжирование инвестиционных проектов, которое будет учитывать различия в издержках упущенных возможностей и компенсациях за риски. NPV и IRR это разные показатели, созданные для разных целей, и измеряющие разные вещи.
Можно ли скорректировать IRR так, чтобы новый показатель учитывал временную стоимость денег, риски и инфляцию? Первая мысль, которая приходит в голову, использовать спред «IRR – ставка затрат на капитал». Для удобства назовем этот показатель eIRR (от англ. excessIRR), т.е. избыточный IRR.
Можно предположить, что для отбора инвестиционных проектов, которые не являются взаимоисключающими, в условиях изменяющихся инвестиционных возможностей удобнее применять eIRR. Но у eIRR имеется, как минимум, один существенный недостаток. Дело в том, что ставка затрат на капитал проекта может изменяться во времени. Затруднительно рассчитать eIRR для проектов, в которых к денежным потокам применяется изменяющаяся во времени ставка дисконтирования. А такая ситуация не редкость. Однако эта проблема не является непреодолимой. Чтобы правильно учесть изменяющуюся ставку дисконтирования, eIRR следует вычислять по следующей формуле:

    \[-{{I}_{0}}-\sum\limits_{t=1}^{n}{\frac{{{I}_{t}}}{\prod\limits_{i=1}^{t}{\left( 1+{{\rho }_{i}} \right)}}=}\sum\limits_{t=1}^{n}{\frac{C{{F}_{t}}}{\prod\limits_{i=1}^{t}{\left( 1+{{r}_{i}}+eIRR \right)}}},\]

(4)
где {{\rho }_{i}} – ставка дисконтирования инвестиционных денежных оттоков для периода i;
{{r}_{i}} – ставка дисконтирования (требуемая ставка доходности) поступлений денежных средств для периода i;
I – инвестиционные денежные оттоки;
C{{F}_{t}} – денежные поступления в момент времени t;
i – временной индекс.
Пример численного расчета по формуле (4) представлен на рисунке 2. Значение eIRR найдено с помощью инструмента «Поиск решения». Требуемая ставка доходности (RR) проекта находится как разность между IRR и eIRR.

eIRR_Numbers

eIRR_Formulas

Рисунок 2. Расчет eIRR и требуемой нормы доходности в случае изменяющейся во времени ставки дисконтирования

 

Важное замечание: основываясь на показаниях IRR или eIRR, не следует думать, что проект будет приносить такую доходность в каждом периоде на протяжении всего срока жизни инвестиционного проекта. Именно это заблуждение и привело к обсуждению мнимой проблемы реинвестирования промежуточных денежных потоков. Подчеркнем еще раз: IRR измеряет доходность на моменты поступления денежных потоков, а не периодическую доходность, приносимую инвестициями в течение всего срока жизни проекта. Это ключевой момент. От его понимания зависит правильное применение IRR и eIRR. Для измерения периодической доходности, приносимой инвестициями на протяжении всего срока жизни проекта, требуется другой показатель.
Правило IRR гласит: если внутренняя ставка доходности проекта больше требуемой ставки доходности (затрат на капитал), тогда инвестиционный проект может быть принят – его NPV будет положительным. Если же внутренняя ставка доходности проекта меньше требуемой ставки доходности (затрат на капитал), тогда NPV проекта будет отрицательным.
Выше мы указали, что IRR не распределяет доход на количество периодов. Почему же тогда выполняется правило IRR? Потому что одной денежной выплаты, превышающей величину инвестиций, уже достаточно для того, чтобы окупить инвестиции.
Можно оценить и доходность с позиций всего срока жизни проекта. Назовем показатель LRR (Lifetime Rate of Return) – ставка доходности за весь срок жизни проекта.

    \[LRR=\sqrt[T]{\frac{FV\left( \sum\limits_{t=1}^{T}{C{{F}^{+}}} \right)}{-PV\left( \sum\limits_{t=1}^{T}{C{{F}^{-}}} \right)}}-1=\sqrt[T]{\frac{\sum\limits_{t=1}^{T}{CF_{t}^{+}{{\left( 1+rf \right)}^{T-t}}}}{-\sum\limits_{t=1}^{T}{\frac{CF_{t}^{-}}{{{\left( 1+RADR \right)}^{t}}}}}}-1,\]

(5)

где FV – будущая стоимость на конец срока жизни проекта;
PV – текущая стоимость на начальный момент времени (момент оценки проекта);
RADR – скорректированная на риск ставка дисконтирования;
C{{F}^{-}} – денежные оттоки;
C{{F}^{+}} – денежные притоки.
Следует обратить внимание, что будущая стоимость положительных денежных потоков рассчитывается на основании безрисковой ставки процента rf. Если использовать скорректированную на риск ставку дисконтирования (RADR), то будущая стоимость будет завышена. После того, как денежные потоки получены, риск в отношении этих денежных потоков исчезает. Поэтому будущая стоимость будет определяться с учетом изменения временной стоимости денег, но без компенсации за риск. Поэтому доходность по LRR будет меньше в сравнении с MIRR, в которую закладывается положительная премия за риск. LRR может быть также больше MIRR, если к положительным денежным потокам применяется отрицательная премия за риск. Строго говоря, LRR – это всего лишь вариант MIRR, в котором в качестве ставки реинвестирования применяется безрисковая ставка процента. Однако мы считаем целесообразным обозначить его особо, чтобы не возникало путаницы с другими вариантами MIRR.
MIRR следует использовать лишь в том случае, когда денежные потоки реинвестируются по ставке, равной ставке дисконтирования денежных потоков. Но этот случай не следует путать с оценкой доходности проекта за весь срок его жизни. Будет неправильно рассчитывать будущую стоимость рисковых денежных потоков, наращивая их по ставке дисконтирования, включающей премию за риск. Риск денежных потоков существует до момента их получения и используется для расчета текущей стоимости. Для расчета будущей стоимости применять премию за риск не следует.
Для случая изменяющихся во времени ставок дисконтирования и наращения формула (5) приобретает следующий вид:

    \[LRR=\sqrt[T]{\frac{\sum\limits_{t=1}^{T}{CF_{t}^{+}\prod\limits_{i=t}^{T}{\left( 1+r{{f}_{i}} \right)}}}{-\sum\limits_{t=1}^{T}{\frac{CF_{t}^{-}}{\prod\limits_{i=1}^{t}{\left( 1+RAD{{R}_{i}} \right)}}}}}-1.\]

(6)

Проблема в том, LRR трудно сравнивать с требуемой нормой доходности проекта для всего срока жизни. Получает, что требуемая норма доходности для каждого денежного поступления содержит премию за риск до момента его получения и не содержит премию за риск с момента получения до окончания срока жизни проекта. Требуемая норма доходности для (5) будет рассчитываться по следующей формуле:

    \[RR=\sqrt[T]{\frac{\sum\limits_{t=1}^{T}{{{1}_{CF_{t}^{+}>0}}{{\left( 1+RADR \right)}^{t}}{{\left( 1+rf \right)}^{T-t}}}}{\sum\limits_{t=1}^{T}{{{1}_{CF_{t}^{+}>0}}}}}-1,\]

(7)

где

    \[{{1}_{CF_{t}^{+}>0}}=\left\{ \begin{matrix} 1,\quad CF_{t}^{+}>0, \\ 0,\quad CF_{t}^{+}=0. \\ \end{matrix} \right.\]

 

 Ранжирование проектов по разным показателям

Теперь возникает закономерный вопрос: будут ли различные преобразования NPV выдавать одинаковое ранжирование проектов? Ответ: нет. Ранжирование проектов по показателям rNPV, EAAR, eIRR, LRR может отличаться (Черемушкин, 2012). Хотя некоторые показатели при выполнении некоторых условий могут обеспечивать одинаковое ранжирование. Например, показатели NPV, rNPV и EAAR в случае одинаковых масштабов инвестиций и сроков жизни проектов обеспечивают одинаковое ранжирование проектов. Ранжирование проектов по показателям NPV и EAA будет также одинаковым в случае одинаковых сроков жизни, но при разных масштабах инвестиций.
Тогда возникает следующий вопрос: какой из показателей обеспечивает правильное ранжирование? Чтобы на него ответить, нужно разобраться, почему ранжирование оказывается разным.
Почему, например, ранжирование по eIRR не совпадает с ранжированием по NPV, хотя eIRR принимает во внимание временную стоимость денег, риски денежных потоков проектов и инфляцию? Расхождение вполне очевидно, поскольку NPV – показатель абсолютный для всего срока жизни проекта, а eIRR – показатель относительный, рассчитываемый по моментам поступлений денежных средств и на рубль инвестиций. Было бы странно ожидать от этих двух показателей одинакового ранжирования. Каждый из этих показателей компенсирует недостатки другого, рассчитан на решение разных задач.
Условия применения eIRR отличаются от условий, в которых применяют NPV. Очевидно, eIRR не следует применять для отбора взаимоисключающих проектов в условиях фиксированных инвестиционных возможностей. Поскольку eIRR не учитывает доходность за весь срок жизни проекта, а только на моменты поступления денежных средств, он более пригоден для ситуаций с изменяющимися инвестиционными возможностями, когда полученные денежные средства выгодно инвестировать в какие-то другие проекты. Инвесторы в таком случае высоко ценят возможность заработать как можно больше в течение короткого срока. Стратегия инвестирования предполагает доступность и постоянный поиск новых проектов. Если же инвесторы хотят заниматься только одним или несколькими проектами в течение продолжительного времени, то критерий eIRR не подходит. В таком случае инвесторам важнее максимизировать доходность в течение некоторого временного интервала, например, 5 лет.
eIRR отдает приоритет более ранним денежным поступлениям. И в этом смысле возможности реинвестирования промежуточных денежных потоков действительно имеют значение . Инвестировать средства не обязательно по окончании срока жизни проекта. Проект приносит денежные потоки на протяжении всего срока жизни. И эти промежуточные денежные потоки можно инвестировать в другие проекты. Например, банки достаточно давно и активно используют показатель IRR, поскольку в банковской деятельности важно оценивать истинную цену кредитования, а возможности реинвестирования свободных денежных для банков имеются регулярно, выбор направлений инвестирования довольно велик. Компаниям, у которых возможности реинвестирования ограничены и нерегулярны, использовать eIRR для принятия инвестиционных решений не следует. Но eIRR вполне может использоваться для оценки эффективной ставки доходности проекта в качестве дополнительного показателя.
Показатели rNPV и EAA для ранжирования проектов имеет смысл использовать тогда, когда инвесторы хотят получать максимальную доходность (в терминах добавленной стоимости) в течение определенного срока. В таблице 2 представлен простой численный пример двух денежных потоковCF1 и CF2. Срок жизни первого составляет 10 лет, а второго – 11 лет. Второй денежный поток во всех периодах больше первого. Тем не менее, aNPV первого денежного потока оказывается выше, чем aNPV второго. Показатель EAA показывает обратную картину: EAA первого денежного потока меньше, чем EAA второго. Важно понять, почему так выходит.

 

Таблица 2. Сравнение показателей aNPV и EAA для проектов с разными сроками жизни

CF1 CF2 PV_CF1 PV_CF2

1

1000

1000

909.0909

909.0909

2

1010

1012

834.7107

836.3636

3

1020

1024

766.3411

769.3464

4

1030

1036

703.5039

707.6019

5

1040

1048

645.7582

650.7255

6

1050

1060

592.6976

598.3424

7

1060

1072

543.9476

550.1055

8

1070

1084

499.1629

505.694

9

1080

1096

458.0254

464.811

10

1090

1108

420.2422

427.182

11

1120

0

392.5532

NPV

6373.481

6811.816

aNPV

637.3481

619.256

EAA

1037.255

1048.769

 

Ключевой момент здесь в том, какова будет величина NPV 10-летнего денежного потока в 11 году. Хотя на протяжении 10 лет второй денежный поток по всем параметрам превосходит первый денежный поток, его NPV перераспределяется не на 10, а на 11 лет. NPV 11 года значительно меньше, чем NPV предыдущих лет. Это связано с убывающей временной стоимостью денег. Даже если денежный поток 11 года оказывается больше денежных потоков предыдущих лет, его текущая стоимость оказывается намного меньше, поскольку он отстоит дальше от текущего момента времени. Соответственно, NPV в расчете на один год оказывается меньше. Получается, что нужно сравнивать проекты по aNPV только в пределах минимального срока из имеющихся проектов. Для второго проекта aNPV за 10 лет (641,9 д.е.) будет больше aNPV первого проекта (647,3 д.е.). Проблема в тот, что мы не знаем, какую NPV в 11 году мы могли бы заработать, если выбрали первый проект, а затем после 10 года инвестировали средства где-то еще. Можно предположить, что если по окончании 10 года, инвестировать средства в другой проект, можно будет заработать большую добавленную стоимость.
Можно представить обратную ситуацию, показанную в таблице 3, когда NPVденежного потока равномерно распределено во времени. При этом aNPV правильно ранжирует денежные потоки, аEAA выдает ошибочное ранжирование.

 

Таблица 3. Сравнение показателей aNPV и EAA для денежных потоков с равномерным распределением во времениNPV

PV_CF1 PV_CF2 CF1 CF2

1

410

400

451.0

440.0

2

410

400

496.1

484.0

3

410

400

545.7

532.4

4

410

400

600.3

585.6

5

410

400

660.3

644.2

6

410

400

726.3

708.6

7

410

400

799.0

779.5

8

410

400

878.9

857.4

9

410

400

966.8

943.2

10

410

400

1063.4

1037.5

11

400

1141.2

NPV

4100

4400

aNPV

410

400

EAA

667.26

677.44

 

Поэтому сравнение проектов с разными сроками жизни зависит не только от величины NPV, но и от временного графика поступления денежных потоков. Временной график NPV обычно убывает во времени, поскольку отдаленные денежные потоки ценятся меньше. Но тогда какой из критериев будет правильным: aNPV или EAA?
С одной стороны, ни один не правильный, а с другой стороны, оба правильные. Все зависит от того, какую задачу требуется решить. Вся проблема в том, что сравнивать проекты различной продолжительности между собой можно лишь с использованием определенных допущений. Если считать, что сроки жизни проектов являются фиксированными, то удобнее использовать aNPV и rNPV. В этом случае временной график денежных потоков не имеет никакого значения, поскольку NPV просто перераспределяется на весь срок жизни проекта. Выбор более короткого по продолжительности проекта с большей rNPV может быть предпочтительным, если инвесторы по каким-либо причинам (например, из-за высокой неопределенности отдаленного будущего) стремятся ограничить срок жизни проектов. Если задача состоит в том, чтобы максимизировать добавленную стоимость за определенный срок, то в случае фиксированного срока жизни проектов лучше считать NPV на этот срок. Иначе aNPV и rNPV могут привести к выбору проектов, в которых NPV перераспределяется на меньший срок жизни, хотя могут иметься более выгодные, но более длительные проекты в пределах допустимого срока.
В реальности срок жизни проектов не обязательно фиксирован. Часто имеется возможность досрочного прекращения проекта. Если прекращение проекта не требует значительных затрат, тогда имеет смысл рассмотреть временной график денежных потоков и временной график поступления NPV. Тогда в пределах нужного срока можно подобрать более выгодные проекты, срок жизни которых может быть искусственно сокращен.

 

Поиск оптимальной комбинации проектов

Рассмотрим задачу выбора инвестиционных проектов, часть из которых является взаимоисключающими, а часть комбинируемыми. Выбор комбинаций проектов ограничивается величиной бюджета инвестиционных вложений. Будем считать, что инвестиционные возможности являются фиксированными, а потому в качестве критерия отбора инвестиционных проектов будет выступать величина NPV портфеля из допустимых комбинаций инвестиционных проектов. Следует обратить внимание на это допущение, поскольку в действительности такой критерий не является обоснованным из-за неопределенности и изменчивости будущих инвестиционных возможностей. Тем не менее, пока мы не будем усложнять задачу, а последуем общепринятой традиции. Но даже задача с такими допущениями демонстрирует, что выбор проектов на основании NPV во многих реальных ситуациях будет необоснованным. Если имеется возможность комбинирования проектов, приходится перебирать все возможные комбинации проектов и учитывать бюджетное ограничение.
Отметим, что в данном примере мы предполагаем, что NPV проектов вычисляется на основе систематического риска, а источники доходов и вложения инвесторов являются диверсифицированными. В этом случае выполняется принцип аддитивности стоимости. Поэтому NPV комбинации инвестиционных проектов будет равна сумме NPV инвестиционных проектов, входящих в эту комбинацию.
Перейдем теперь к числовому примеру. Исходные данные представлены в таблице 4. В ней приводятся величина инвестиций, NPV проектов и общее бюджетное ограничение. В таблице 5 указывается, какие проекты могут комбинироваться, а какие являются взаимоисключающими.

 

Таблица 4. Характеристики инвестиционных проектов

NPV Величина инвестиций PI
Проект 1

3500

10000

0.35

Проект 2

2000

3000

0.67

Проект 3

3000

4500

0.67

Проект 4

3000

7000

0.43

Проект 5

5500

15000

0.37

Проект 6

900

1700

0.53

Проект 7

1200

5000

0.24

Проект 8

3000

9000

0.33

Проект 9

7000

17000

0.41

Проект 10

6000

12000

0.50

Бюджетное ограничение

50000

 

Таблица 5. Матрица сочетаемости проектов*

П1 П2 П3 П4 П5 П6 П7 П8 П9 П10
П1
П2

1

П3

0

1

П4

1

0

0

П5

1

1

1

1

П6

1

1

0

1

1

П7

0

1

1

1

0

1

П8

1

0

1

0

1

1

1

П9

0

1

1

1

1

0

1

1

П10

1

1

0

1

0

1

1

1

0

 

Максимизировать: совокупную NPV портфеля проектов
При условии:
совокупная величина инвестиционных затрат меньше либо равна бюджетному ограничению

Приведем теперь более компактную математическую запись задачи с помощью индексного обозначения.
Индексы:
p – проекты
q – проекты
Параметры:
B – бюджетное ограничение
{{I}_{p}} – величина инвестиций по проекту
{{y}_{p}} – NPV проекта

    \[H\left( p,q \right)\]

– бинарный параметр, указывающий, являются ли проекты взаимоисключающими или комбинируемыми: 1 – проекты являются взаимоисключающими, 0 – проекты комбинируемые
Переменные:
{{x}_{p}} – бинарная переменная, указывающая выбран ли проект: 0 – не выбран, 1 – выбран
{{x}_{q}} – бинарная переменная, указывающая выбран ли проект: 0 – не выбран, 1 – выбран

\max \quad \sum\limits_{p}{{{y}_{p}}{{x}_{p}}}\quad \forall p
при условии

    \[\sum\limits_{p}{{{I}_{p}}}{{x}_{p}}\le B,\]

    \[\sum\limits_{p}{{{I}_{p}}}{{x}_{p}}\le B,\]

    \[{{x}_{p}}+{{x}_{q}}\le 1\quad \left| \quad H\left( p,q \right)=0,\quad p>q \right.,\]

    \[{{x}_{p}}\in \left\{ 0,1 \right\},\]

    \[{{x}_{q}}\in \left\{ 0,1 \right\}.\]

Компактная математическая запись довольно неудобна в сложных моделях, поскольку приходиться постоянно смотреть обозначения используемых символов. При разработке практических моделей вместо латинских или греческих символов рекомендуется применять осмысленные короткие названия или сокращения для множеств, переменных, параметров, которые интуитивно понятны и позволяют легко читать модель.
Результаты оптимизации сведены в таблице 6. Оптимальная комбинация достигается при выборе проектов 3, 5, 8 и 9. Общая величина инвестиций составит 45500 д.е., а NPV портфеля проектов будет равно 18500 д.е. PI портфеля составит примерно 40,66%.

 

Таблица 6. Результаты оптимизации портфеля инвестиционных проектов по NPV

Наименования проектов Переменная выбора Выбранные проекты
Проект 1

0

Проект 2

0

Проект 3

1

+

Проект 4

0

Проект 5

1

+

Проект 6

0

Проект 7

0

Проект 8

1

+

Проект 9

1

+

Проект 10

0

Общая величина инвестиций

45500

NPV портфеля проектов

18500

PI портфеля проектов

40.66%

 

Стоит обратить внимание, что отбор проектов в таблице 6 с целью формирования оптимального портфеля, учитывающего бюджетное ограничение, не соответствует отбору проектов по отдельности в соответствии с критериями NPV или PI. Во-первых, приходится оглядываться на величину инвестиций, бюджетное ограничение. Во-вторых, приходится учитывать, что некоторые проекты взаимоисключающие, а другие комбинируемые. Таким образом, даже при использовании достаточно простых допущений, задача отбора инвестиционных проектов оказывается достаточно сложной, чтобы ее можно было решить, смотря только на NPV или PI.

 

Заключение
Конфликт между ранжированием проектов по критериям NPV и eIRR вызван совсем не допущением о реинвестировании, а совершенно разными условиями, относительно которых осуществляется ранжирование проектов. Мы сравниваем NPV именно с eIRR, а не с IRR, поскольку IRR не учитывает различия в рискованности инвестиционных проектов.
Поскольку показатели по-разному учитывают срок жизни проектов, величину инвестиций, издержки упущенных возможностей и риски, каждый из них будет выдавать собственную информацию, которую не содержат другие измерители. Нет ничего удивительного в том, что показатели не повторяют друг друга при ранжировании проектов. Важно не добиться одинакового ранжирования от всех показателей, а определить какой из показателей обеспечивает правильное ранжирование в соответствии с условиями решаемой задачи.
В идеале показатели нужно сравнивать не между собой, а относительно эталона либо цели измерения, анализа, условий задачи. При сравнении инвестиционных проектов эталоном можно считать оптимальное ранжирование инвестиционных проектов, достигнутое в рамках решения оптимизационной задачи. Трудность в том, что в оптимизационных задачах могут применяться различные допущения. Ситуации с разными допущениями могут иметь разные ранжирования проектов, в особенности, если добавить возможность комбинирования некоторых проектов. Иными словами, достоинства и недостатки NPV и IRR связаны с тем, что их пытаются использовать для решения задач с различными условиями и допущениями.

Литература
1. Черемушкин С.В. Логическое и математическое доказательство ошибочности представления об имплицитном допущении о реинвестировании промежуточных денежных потоков в формуле дисконтирования денежных потоков и внутренней ставки доходности // Аудит и финансовый анализ, 2012, № 3. С. 366-376.
2. Черемушкин С.В. Условия применения и ограничения показателей результативности инвестиционных проектов // Финансовый менеджмент, 2013, № 4. С. 36=52
3. Altshuler, Dean, Carlo Alberto Magni. 2012. “Why IRR is Not the Rate of Return for Your Investment: Introducing AIRR to the Real Estate Community,” Journal of Real Estate Portfolio Management, Vol. 18, No. 2. pp. 219-234.
4. Basu, Udayan Kumar. 2011. “Existence and Uniqueness of IRR for Realistic Investment Scenarios and Descartes Rule of Signs,” Working Paper. Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=1938866
5. Berkovitch, Elazar and Ronen Israel. 2004. “Why the NPV Criterion Does not Maximize NPV,” Review of Financial Studies, Vol. 17, No. 1. pp. 239-255.
6. Brigham, Eugene F., Michael C. Ehrhardt. 2010. “Financial Management Theory and Practice,” Mason: South-Western Cengage Learning. 1152 p.
7. Cheremushkin, Sergei Vasilievich. 2012. “There is No Hidden Reinvestment Assumption in Discounting Formula and IRR: Logical and Mathematical Arguments,” Working Paper (January 10,). Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=1982828
8. Dorfman, Robert. 1981. “The Meaning of Internal Rates of Return,” Journal of Finance, Vol. 36, No. 5. pp. 1011-1021.
9. Magni C.A. 2010. “Average Internal Rate of Return and Investment Decisions: a New Perspective,” The Engineering Economist, Vol. 55, No. 2, pp. 150-181.
10. Martin, Ray. 1995. “Internal Rate of Return Revisited,” Working Paper. Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=39520
11. Osborne, Michael J. 2004. “The Relationship between NPV and IRR in the Presence of a Non-flat Yield Curve,” Working Paper. Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=556360
12. Osborne, Michael J. 2010. “A Resolution to the NPV – IRR Debate?” The Quarterly Review of Economics and Finance, Vol. 50, No. 2. pp. 234-239.
13. Phalippou, Ludovic. 2008. “The Hazards of Using IRR to Measure Performance: The Case of Private Equity,” Working Paper. Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=1111796
14. Pressacco, Flavio, Carlo Alberto Magni, Patrizia Stucchi. 2011. “A Quasi-IRR for a Project without IRR,” Working Paper. Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=1800348
15. Velez-Pareja, Ignacio. 2000. “The Weighted Internal Rate of Return (WIRR) and Expanded Benefit-Cost Ratio (EB/CR),” Universidad Javeriana Working Paper No. 9. September 19. Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=242867

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Сергей Черемушкин © 2014 Frontier Theme