Проблема реинвестирования промежуточных денежных потоков в IRR и NPV

В финансовой литературе распространено мнение о том, что формула дисконтирования денежных потоков и формула внутренней ставки доходности содержат имплицитное допущение о реинвестировании промежуточных денежных потоков. Лишь немногие авторы отвергают это допущение. Фактически в литературе продолжается спор по поводу действительности допущения о реинвестировании. Решение этого вопроса имеет важное теоретическое и практическое значение, поскольку сохранение неопределенности вносит путаницу в порядок расчета и интерпретации многих финансовых показателей, которые опираются на дисконтирование денежных потоков или оценку внутренней нормы доходности.

Авторы, которые настаивают на существовании допущения о реинвестировании, обычно предлагают использовать модифицированные формулы MNPV и MIRR, в которых допущение о реинвестировании задается эксплицитно. В данной работе приводится логическое и математическое доказательства ошибочности мнения о том, будто бы формулам дисконтирования свойственно допущение о реинвестировании промежуточных денежных потоков. Разъясняются логические ошибки, которые привели к укоренению этого заблуждения. Показано, что модифицированные показатели MNPV и MIRR, рекомендуемые в литературе как более точные измерители стоимости и доходности проектов, на самом деле содержат логические ошибки, существенно искажают стоимость и доходность и во многих ситуациях могут вводить в заблуждение. Обсуждаются ограничения и недостатки показателей NPV и IRR, порядок их применения на практике.

Постановка проблемы реинвестирования денежных потоков содержится в работе Соломона (1956). Заметив, что между критериями NPV и IRR возникает конфликт при оценке проектов с различными сроками жизни, Соломон предложил сравнивать инвестиционные проекты с точки зрения их относительной стоимости на конечную дату самого продолжительного из сравниваемых проектов. В итоге он сделал вывод, что метод дисконтирования денежных потоков содержит имплицитное допущение о том, что промежуточные денежные потоки до конца жизни проекта реинвестируются по ставке, равной ставке дисконтирования денежных потоков проекта. Метод внутренней нормы доходности IRR, по мнению Соломона, содержит имплицитное допущение о том, что промежуточные денежные потоки до конца жизни проекта реинвестируются по ставке, равной внутренней норме доходности этого проекта. Лучше всего рассмотреть это на числовом примере. Предположим, мы оцениваем денежный поток, состоящий из следующих выплат: -500, 200, 300, 400, осуществляемых соответственно в 0, 1, 2 и 3 годы. Пусть ставка дисконтирования денежных потоков проекта составляет 10%. Расчет NPV будет следующим:

(1)   \begin{equation*}   NPV=-500+\frac{200}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{1}}}+\frac{300}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}}+\frac{400}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{3}}}\approx 230.3. \end{equation*}

Согласно Соломону и некоторым другим исследователям (Кеоун и др., 2002), допущение о реинвестировании состоит в том, будто бы промежуточные денежные потоки реинвестируются до конца жизни проекта по ставке дисконтирования проекта, т.е. в данном случае по ставке 10%. В нашем примере это затрагивает денежные поступления, полученные в первом и втором годах. Так, поступление 200 д.е. первого года реинвестируются на два года:

(2)   \begin{equation*}   $200\cdot {{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}=242.$ \end{equation*}

Поступление 300 д.е. второго года реинвестируются на один год:

(3)   \begin{equation*}   $300\cdot {{\left( 1+0.1 \right)}^{1}}=330.$ \end{equation*}

Это можно представить в виде следующей математической записи:

(4)   \begin{equation*}   NPV=-500+\frac{200\cdot {{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{3}}}+\frac{300\cdot {{\left( 1+0.1 \right)}^{1}}}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{3}}}+\frac{400}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{3}}}\approx 230.3. \end{equation*}

До этого в литературе не придавали должного внимания тому, что при наличии допущения о реинвестировании промежуточных денежных потоков по ставке дисконтирования проекта (в случае NPV) или по ставке IRR (в случае IRR) автоматически накладывается допущение о том, что эти промежуточные денежные потоки будут также дисконтироваться по той же самой ставке. Предыдущую формулу можно раскрыть в следующем виде:

(5)   \begin{equation*}   NPV=-500+\frac{200\cdot {{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}}{\left( 1+0.1 \right){{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}}+\frac{300\cdot {{\left( 1+0.1 \right)}^{1}}}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}{{\left( 1+0.1 \right)}^{1}}}+\frac{400}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{3}}}\approx 230.3. \end{equation*}

Следует обратить внимание на то, что вместо ставки дисконтирования и реинвестирования 10% для промежуточных денежных потоков мы можем использовать любую другую ставку. Например, предположим, что промежуточные денежные потоки проекта реинвестируются в безрисковые облигации по ставке 5%. Но тогда и подходящая ставка дисконтирования для них будет не 10%, а 5%. Поскольку реинвестиции безрисковые, в ставке дисконтирования промежуточных денежных потоков отсутствует премия за риск:

(6)   \begin{equation*}   NPV=-500+\frac{200\cdot {{\left( 1+0.05 \right)}^{2}}}{\left( 1+0.1 \right){{\left( 1+0.05 \right)}^{2}}}+\frac{300\cdot {{\left( 1+0.05 \right)}^{1}}}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}{{\left( 1+0.05 \right)}^{1}}}+\frac{400}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{3}}}\approx 230.3. \end{equation*}

Если реинвестиции рисковые, то ставка дисконтирования должна отражать риск реинвестиций, а не риск исходного проекта. Как видим, в формуле NPV нет допущения о том, что денежные потоки должны обязательно реинвестироваться по ставке 10%. Они вообще не обязательно должны реинвестироваться. Математика формулы это тоже позволяет. Предположим, что денежные потоки сразу же потребляются. Тогда, математически можно записать, что ставка реинвестирования равна 0%. Но в этом случае и ставка дисконтирования будет равна 0%. В итоге имеем:

(7)   \begin{equation*}   NPV=-500+\frac{200\cdot {{\left( 1+0 \right)}^{2}}}{\left( 1+0.1 \right){{\left( 1+0 \right)}^{2}}}+\frac{300\cdot {{\left( 1+0 \right)}^{1}}}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{2}}{{\left( 1+0 \right)}^{1}}}+\frac{400}{{{\left( 1+0.1 \right)}^{3}}}\approx 230.3. \end{equation*}

Как видим, реинвестиции вообще не обязательны. Именно такой сценарий изначально рассматривался при разработке формулы NPV. Просто раньше никто не обратил внимания на такую, казалось бы, мелочь. Исследователи упустили из виду вопрос о том, по какой ставке промежуточные денежные потоки должны дисконтироваться. В литературе подразумевается, что промежуточные денежные потоки дисконтируются по той же ставке, что и денежные потоки проекта. В этом то и состоит суть проблемы. Ставка дисконтирования проекта отражает риски проекта. А реинвестирование промежуточных денежных потоков будет осуществляться в другие проекты, которым присущи свои риски. Поэтому и ставка дисконтирования промежуточных денежных потоков будет отличаться от ставки дисконтирования исходных денежных потоков проекта. Наше доказательство состоит лишь в том, что мы обратили внимание не только на ставку реинвестирования, но и на ставку дисконтирования промежуточных денежных потоков и представили формулу в развернутом виде. Преобразование формулы позволяет лучше увидеть внутреннюю логику математической формулы. Преобразование элементарное, но существенное для окончательного решения проблемы. Мы со всей очевидностью можем видеть, что применение ставки реинвестирования и дисконтирования промежуточных денежных потоков, равной 10%, – это всего лишь частный случай. В действительности мы можем взять произвольную ставку реинвестирования промежуточных денежных потоков. Требование лишь одно – эта ставка должна применяться также для дисконтирования промежуточных денежных потоков.

Расширенная англоязычная версия статьи под названием «There is No Hidden Reinvestment Assumption in Discounting Formula and IRR: Logical and Mathematical Arguments» выложена на сайте SSRN: http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1982828

15 комментариев

Оставить комментарий
    1. Сергей Черемушкин

      Здравствуйте!
      Ваша ссылка не работает. Как я понял, вы ссылаетесь на работу Кулаковой А.Н. «Оценка эффективности «нетипичных» инвестиционных проектов» // Аудит и финансовый анализ, 2010, № 5.
      В ней вопрос рассматривается в несколько иной плоскости — определение доходности проектов, у которых денежный поток неоднократно меняет знак от периода к периоду. Это, скорее, смежный вопрос, который не связан с проблемой реинвестирования. Кстати, довольно типичная ситуация. По крайней мере, мне с ней часто приходилось сталкиваться. В литературе предложены разные способы решения этой задачи. Причем, разные методы, естественно, дают разные значения доходности.
      На самом деле вопрос очень простой. Нельзя рассчитать положительную доходность, скажем, для следующего денежного потока: инвестиция = -100, денежный поток через год = -50. И если в денежном потоке встречаются значения с отрицательными знаками, оценка доходности будут искаженной, так как для отдельных периодов положительные доходности чередуются с отрицательными. С помощью IRR и аналогичных показателей пытаются рассчитать доходность для проекта, в котором поток платежей растягивается на несколько периодов времени, сравнивая потоки в каждом периоде с инвестицией в нулевой момент времени. Вся загвоздка в том, что для отдельных периодов положительная доходность не может быть рассчитана. В первую очередь, следует рассматривать экономический смысл проблемы, а уже затем искать математические методы ее решения. На мой взгляд, самый простой способ решения проблемы — перенести все отрицательные платежи в нулевой момент времени, подобрав для них соответствующую ставку дисконтирования. Но, разумеется, можно применять и другие способы.
      В любом случае, спасибо за внимание к моей работе и за ссылку на статью Кулаковой.
      С уважением, Сергей Черемушкин.

  1. доброжелатель

    Вы не правильно трактуете понятие доходности.Вот определение Бирмана и Шмидта
    Доходность инвестиционного проекта – это максимальная ставка процента, которую может заплатить инвестор, если все фонды для финансирования проекта взяты в долг, и общая сумма долга (тело кредита и проценты) полностью оплачена полученным доходом проекта.
    В вашем примере: -100*(1+r)-50 = 0, поскольку нет дохода. 1+r = -0,5
    r = -1,5 = -150%. Так что доходность (вернее убыточность) данного проекта -150% годовых. Что это означает, что если вы займете фонды по отрицательной ставке -150%, то не понесете убытков.

    1. Сергей Черемушкин

      Я не совсем точно выразился.
      Проблему расчета доходности проектов, у которых денежный поток меняет знак от периода к периоду, можно проиллюстрировать на следующем примере.
      Предположим есть денежный поток
      -100 0 -50
      Т.е. инвестиция в нулевой момент времени и денежный отток во втором периоде.
      Требуется рассчитать годовую ставку доходности. Получаем формулу
      r=sqrt(-50/100)-1
      Корень четной степени из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел. А иррациональные числа не поддаются экономической интерпретации. Это один из частных случаев, когда формула расчета доходности для многопериодного денежного потока не срабатывает.
      В других случаях, когда денежный поток меняет знак от периода к периоду, может быть несколько корней.

      В таких случаях пытаются использовать MIRR, в которой явно задается ставка реинвестирования. Но MIRR — это оценка доходности за весь срок жизни проекта, так как в ней рассчитывается будущая стоимость всех притоков на конец периода. А IRR рассчитывает доходность только на момент получения денежных средств. Когда эти деньги получены, с ними можно делать все что угодно. С точки зрения экономического смысла их не обязательно реинвестировать. Только нужно помнить, если значение IRR равно, скажем, 37%, то такую доходность инвестор не будет получать на протяжении, например, пяти лет реализации проекта. Это просто «усредненная» (с учетом моментов поступления денежных средств) доходность проекта к моменту получения денег инвестором.

      Пример

      -100 70 90 0 1 1
      IRR 37%
      MIRR с нулевой ставкой реинвестирования 10%

      Если взять

      -100 70 90

      IRR будет 36%.
      MIRR 26%

      Но математически IRR также можно интерпретировать как доходность за весь срок жизни проекта, в котором промежуточные поступления реинвестируются по ставке IRR. Для некоторых экономических задач уместна именно такая интерпретация.

      1. Сергей, добрый день!

        Подскажите, пожалуйста, какая, по Вашему мнению, уместна интерпретация IRR при расчете эффективной доходности к погашении облигации (YTM)?

        1. Сергей Черемушкин

          Здравствуйте, Денис!

          Ответ содержится в самом вопросе. Задача состоит в том, чтобы определить величину доходности к погашению облигации (yield to maturity).
          Это доходность облигации, исходя из предположения, что облигация будет удерживаться до даты погашения. Для владельца облигация с фиксированной процентной ставкой — финансовый актив, выплаты по которому в случае удержания до погашения известны — есть искусственно составленный график платежей. Смысл доходности к погашению облигации принципиально не отличается от ставки доходности инвестиций в другие активы. Облигация — всего лишь один из видов объектов инвестирования. Ставка доходности инвестиций — понятие достаточно универсальное.
          Для понимания смысла IRR важно принять во внимание, что платежи по облигации могут включать две составляющие: доход на инвестицию и возврат инвестированной суммы. Невозвращенная сумма инвестиции может оставаться неизменной до даты погашения облигации, либо увеличиваться (причисление начисленных, но невыплаченных процентов к основной сумме вклада, займа) или снижаться до даты погашения (когда платеж превышает сумму начисленных процентов и возвращается часть инвестиции).
          IRR позволяет определить ставку доходности на невозвращенную сумму инвестиций. При этом делается допущение о том, что ставка процента остается неизменной.
          Подробнее смотрите мое видео на YouTube, разъясняющее сущность IRR. В нем инвестиция в любой актив иллюстрируется на примере банковского вклада. Но эта логика в полной мере применима также и к облигациям.
          Ссылка на видео
          https://www.youtube.com/watch?v=Mt7ldDpaRPg

          Что касается реинвестирования, то в случае облигаций оно возможно, если это прямо предусмотрено условиями выпуска. Однако в общем случае реинвестирование отсутствует.

          Если вы читаете на английском языке, вот ссылка на статью Роберта Шмидта, которая была опубликована на сайте PropertyMetrics/
          Статья называется What is IRR and How Does it Work?
          https://www.propertymetrics.com/blog/2014/06/09/what-is-irr/

          В этой статье, по моему мнению, доступно объясняется внутренняя логика IRR.

          С уважением,
          Сергей.

          1. Сергей, спасибо за развернутый ответ!

            Правильно ли я Вас понял, что формула расчета YTM (IRR) облигации не подразумевает реинвестирование промежуточных денежных потоков (купонов, части номинальной стоимости облигации при амортизационной структуре погашения облигаций)?

            P.S. В практике российских облигаций не встречал, чтобы условиями выпуска облигаций предусматривалось реинвестирование промежуточных денежных потоков. Реинвестирование это дело добровольное.

            C уважением,
            Денис.

          2. Сергей Черемушкин

            Да, Денис, вы меня правильно поняли. Я убежден, что в YTM (IRR) допущения о реинвестировании нет.
            Мнение о реинвестировании, которое воспроизводится во многих учебниках, является заблуждением. Закрепилось такое мнение без достаточных оснований, но из-за того, что его растиражировали в популярных учебниках, его довольно сложно изжить.
            Обычно ссылаются на статью Соломона (E. Solomon, 1956, The Arithmetic of Capital Budgeting Decisions, Journal of Business, 29, pp. 124-29), который якобы первым обратил внимание на реинвестирование промежуточных денежных потоков. Я читал статью Соломона. Его просто неверно поняли. Хороший разбор статьи Соломона делает Дудли ( A Note on Reinvestment Assumptions in Choosing between Net Present Value and Internal Rate of Return Carlton L. Dudley, Jr. The Journal of Finance Vol. 27, No. 4 (Sep., 1972), pp. 907-915 ). Читал еще несколько статей современных авторов, которые придерживаются такого же мнения и проводят убедительные доводы. Из последних работ можно посмотреть Карло Альберто Маньи (Carlo Alberto Magni).

          3. Сергей,
            Спасибо за рекомендацию статьи Роберта Шмидта. В ней действительно очень доступна объяснена внутренняя логика IRR.

  2. доброжелатель

    А насчет реинвестирования промежуточных денежных потоков, я с Вами согласен.
    Никакого реинвестирования нет, это математическая манипуляция. Умножили дисконтированные потоки на (1+r)^N и получили реинвестирование. Если бы реинвестирование было реальное, то следует рассматривать проект, состоящий из начальной инвестиции и дохода последнего периода с учетом реинвестированных промежуточных доходов.

    1. Сергей Черемушкин

      Да. Именно об этом я и говорю.

  3. доброжелатель

    Пришлите свой email, я Вам пошлю две ссылки с открытым доступом на статьи:
    «Evaluation of Nonconventional Projects» и «Evaluation of Nonconventional Projects: GIRR and GERR vs. MIRR».
    В них изложен метод GNPV и показаны недостатки MIRR. Можно посмотреть также статью «Is the MIRR a Suitable Indicator for Projects with Multiple Outflows?» вот ссылка http://www.xcdsystem.com/iie2014/abstract/finalpapers/I92.pdf
    Хочу прокомментировать Вашу фразу: «Это просто «усредненная» (с учетом моментов поступления денежных средств) доходность проекта к моменту получения денег». Что такое средняя величина? Не задумывались? Например, средняя скорость движения автомобиля. Средняя скорость — это постоянная скорость,при которой автомобиль проходит за то же время тот же путь, как при переменной скорости. Так и IRR — это постоянная ставка на всем времени существования проекта, а не усредненная. Я поставил свой email. Если есть желание, пишите на него.
    С уважением,
    Николай.

    1. Сергей Черемушкин

      «Усредненная» я в кавычки взял, поскольку сложно подобрать правильный термин. Больше подходит термин «time-weighted return», но под этот термин своя методика расчета предлагается.
      Автомобиль — все-таки другая предметная область. Инвестор не дожидается окончания последнего периода. Деньги он получает в течение проекта. Не обязательно измерять доходность в конце срока проекта. Как в случае с NPV. Денежные потоки оцениваются в момент их поступления. Также и доходность логично измерять по состоянию на моменты поступления денежных средств. Реинвестирование до конца срока проекта здесь присутствует только как математическая фикция.

      Я Вам напишу на почту позднее.

  4. Сергей, добрый день!

    Сторонники допущения о реинвестировании промежуточных денежных потоков в формуле IRR по ставке IRR утверждают следующее:

    Если посчитать IRR, а затем для расчета MIRR использовать ставку реинвестирования в размере IRR, то MIRR получится равной IRR. Т.е. IRR можно считать частным случаем MIRR.

    На простое совпадение не похоже. Насколько верно указанное выше утверждение? Объясните, пожалуйста, почему так происходит?

    С уважением, Денис

    1. Сергей Черемушкин

      Здравствуйте, Денис!

      Хороший вопрос.
      Ответ на него я писал несколько лет назад в статье «There is No Hidden Reinvestment Assumption in Discounting Formula and IRR: Logical and Mathematical Arguments»
      https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1982828

      Суть в том, что здесь идет подмена понятий.
      Допустим, мы взвесили на весах яблоки и апельсины. Их вес совпадает. Но из этого не следует, что яблоки тождественны апельсинам.
      Из математического равенства не следует тождественность понятий.
      Очевидно, сторонники допущения не совсем понимают, что такое реинвестирование.

      Предположим, имеется денежный поток 0: -1000, 1: 500, 2: 700, 3: 0.
      IRR равна приблизительно 12,32%.
      Здесь по определению нет никакого реинвестирования, так как денежные платежи выплачиваются в конце 1 и 2 периодов.
      Теперь рассмотрим реинвестирование промежуточных денежных потоков. Реинвестирование означает, что выплаты на самом деле не делаются. Денежные платежи откладываются до конца 3 периода. 500 в конце 1 периода добавляется к сумме вклада.
      700 в конце 2 периода тоже добавляется к сумме вклада. На эти суммы начисляются проценты. Ставка процента 12,32%.
      Получаем следующий денежный поток:
      0: -1000, 1: 0, 2: 0, 3: 1417.
      IRR = MIRR = 12,32%. Здесь может быть небольшая погрешность из-за округления чисел в примере.
      Да, ставка равна, но денежные потоки разные.
      Без реинвестирования — 0: -1000, 1: 500, 2: 700, 3: 0.
      С реинвестированием: 0: -1000, 1: 0, 2: 0, 3: 1417.

      Смысл IRR в том, что процент начисляется только на непогашенный остаток инвестиции (вклада). После возврата части инвестиции, проценты на эту часть не начисляются. Но, разумеется, мы можем искусственно сконструировать ситуацию, когда промежуточные денежные потоки не выплачиваются, а добавляются к сумме вклада (это и есть реинвестирование). То есть выплаты промежуточных денежных потоков откладываются до последнего периода (в нашем примере 3 года). Но это же совсем другой денежный поток! Странно, что сторонники допущения о реинвестирования не видят подмены денежного потока.

      С уважением,
      Сергей.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Сергей Черемушкин © 2014 Frontier Theme